Springen naar inhoud

Conservatief vectorveld in poolcoordinaten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_reussue_*

  • Gast

Geplaatst op 06 juli 2007 - 11:18

Hallo allemaal,

ik ben bezig met een hoofdstukje over curvilineaire coordinaten en heb daarbij de volgende opgave waar ik niet helemaal uit kom:

Gegeven is het volgende vectorveld. Dit veld is gegeven in poolcoordinaten en alle partiele afgeleiden zijn continu.

LaTeX

Ik moet bewijzen dat als dit vectorveld conservatief is, geldt:

LaTeX

Nou kan ik dit opzich wel bewijzen door de laten zien dat de rotatie 0 is (hierbij denk ik even in cilindercoordinaten en veronderstel de z coordinaat 0), maar mijn vraag is of het ook direct kan. Bij carthesische coordinaten is dit simpel, gewoon laten zien dat de gemengde partiele afgeleiden van de potentiaalfunctie gelijk zijn. Hoe kan ik dat hier doen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2007 - 15:27

Je wilt dus differentiatie omzetten van charthesisce coŲrdinaten naar poolcoŲrdinaten. Daar eerst maar eens naar kijken:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Veranderd door oscar2, 07 juli 2007 - 15:29


#3

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2007 - 15:54

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX


LaTeX

#4

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2007 - 16:27

(sorry, ik kon het vorige tekstje niet meer editten)

Dan nu alles bij elkaar: LaTeX

Dus: LaTeX

Dan: LaTeX

....... LaTeX

En met wat uitwerken: LaTeX

Is dat wat je zoekt?

#5

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 juli 2007 - 17:20

oscar2 , ik wil dit graag begrijpen. Mijn eerste vraag is dan of je bedoeld: de omzetting van cartes. coordinaten naar sferische poolcoordinaten of de omzetting van cart. naar cilindrische poolcoordinaten?

#6

Akarai

    Akarai


  • >100 berichten
  • 140 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2007 - 17:28

Bij mijn weten zijn poolcoordinaten 2D...

#7

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 juli 2007 - 21:13

Kan iemand mij een wiskundeboek aanraden, waar de berekening van oscar2 stap voor stap wordt uitgelegd.???

#8

*_gast_reussue_*

  • Gast

Geplaatst op 08 juli 2007 - 11:21

Is dat wat je zoekt?


Dit is precies wat ik bedoelde. Hartelijk dank voor de uitleg, ik kan hem volledig volgen.

Ik denk alleen wel dat de opgave waardoor ik hier op kwam niet op deze manier doelde aangezien dit wat lastiger was dan ik vantevoren dacht. Maar niettemin hartelijk dank pi.gif

#9

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2007 - 17:25

@michel: graag gedaan.

@aad,

Bedankt voor je belangstelling. Helaas heb ik niet zo een boek voor je. Ik heb het gewoon heel vaak gedaan. Daardoor krijg ik het nu redelijk vlot opgeschreven. Misschien dat de vragensteller je verder kan helpen. Die is redelijk geavanceerd bezig.

Maar het stelt uiteindelijk ook weer niet zo heel veel voor hoor. Het eerste stuk gaat over de relatie tussen pool- en cartesische coordinaten: x = rcos(phi) en y = rsin(phi). Door de kettingregel handig toe te passen kun je een afgeleide in het ene stelsel uitdrukken in termen van het andere. (df/dr = df/dx*dx/dr + df/dy*dy/dr, etc).
Het handige zit hem er vooral in dat je eerst d/dr en d/dphi uitdrukt in d/dx en d/dy en niet andersom. Zo heb je veel minder vervelende vergelijkingen op te lossen. De ene transformatie in de andere omzetten doe je gewoon door het stelsel van twee vergelijkingen op te lossen. Je ziet dat ik x, y, r en phi door elkaar gebruik. Dat is geen probleem, zolang je op ieder moment maar onthoudt of je variabelen x en y zijn of r en phi. Zo kun je cos(phi) handig schrijven als x/r, etc.

Bij het tweede deel vul ik de functie van de vragensteller in. Het gaat bij hem niet om een functie maar om een (2D) vector. Wat hij schreef was: de gemengde tweede afgeleiden (van de potentiaalfunctie) zijn aan elkaar gelijk (als deze functie conservatief is). De vector bestaat dan uit Ax = df/dx en Ay = df/dy. Dan moet dus gelden dAx/dy = dAy/dx. Dat heb ik uitgewerkt.
Uiteindelijk valt er ineens heel veel weg. Dat heb je vaak. Het differentieren (met de productregel) geeft een aantal termen. Links en rechts krijg je vergelijkbare termen. Soms heeft de term aan de ene kant cos^2(phi) en aan de ander kan -sin^2(phi). Dan haal je die naar de andere kant waarna die twee samen ťťn geven. Andere termen aan de ene en de andere kant van het =-teken zijn helemaal gelijk. Dan vallen ze gewoon weg. Zo hou je uiteindelijk het gevraagde over. Zoals gezegd gaat dit heel vaak zo, zo dat je ook weer niet al te bang moet zijn voor dit soort lange vergelijkingen.
Wel in de gaten houden dat Ar en Aphi allebei een functie van r en phi zijn. Dat kreeg ik pas later door.

Ik hoop dat dit een beetje is wat je zoekt.

Groet. Oscar

#10

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:16

Bij carthesische coordinaten is dit simpel, gewoon laten zien dat de gemengde partiele afgeleiden van de potentiaalfunctie gelijk zijn.

Volgens mij is dat niet de enige vereiste. Een conservatieve vectorveld heeft wel een gemengde partiele afgeleiden die 0 is, maar andersom is dit niet altijd waar.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:29

Blijkbaar had reussue het over de potentiaalfunctie, niet over het vectorveld. Maar dan nog, een conservatief vectorveld kan een potentiaalfunctie hebben waarvan de gemengde partiŽle afgeleiden niet 0 zijn hoor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:38

Stel F=Pi+Qj, dan is F conservatief als dp/dy-dq/dx=0 en F is simply-open connected. Dit is wat ik me herinner.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:40

Bedoel je (of reussue) met dp/dy en dq/dx "gemengde" partiŽle afgeleide?
Voor de potentiaalfunctie verstond ik daaronder d≤(f)/(dxdy), als gemengd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:43

Ik dacht dat reussue dat bedoelde, mijn fout. :D
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#15

*_gast_reussue_*

  • Gast

Geplaatst op 08 juli 2007 - 19:55

Kan iemand mij een wiskundeboek aanraden, waar de berekening van oscar2 stap voor stap wordt uitgelegd.???


Ik zou niet weten in welk boek deze berekening van oscar2 wordt uitgelegd. Ik zelf heb mijn kennis over vectorvelden uit Calculus: A Complete Course van Adams.
Voor de rest is het een kwestie van differenieren, er wordt enkele malen de kettingregel toegepast daar zit denk vooral de moeilijkheid in.

Ik bedoelde met gemengde partiele afgeleiden inderdaad de tweede afgeleiden van de potentiaalfunctie. Dus de eigenschap dat:

LaTeX

waarbij f de potentiaalfunctie is.

Veranderd door reussue, 08 juli 2007 - 19:55






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures