Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Hallo allemaal,

ik ben bezig met een hoofdstukje over curvilineaire coordinaten en heb daarbij de volgende opgave waar ik niet helemaal uit kom:

Gegeven is het volgende vectorveld. Dit veld is gegeven in poolcoordinaten en alle partiele afgeleiden zijn continu.
\(\mathbf{A}(r,\phi) = A_r \hat{\mathbf{r}} + A_{\phi} \hat{\mathbf{\phi}}\)
Ik moet bewijzen dat als dit vectorveld conservatief is, geldt:
\(\frac{\partial A_r}{\partial \phi} - r \frac{\partial A_{\phi}}{\partial r} = A_{\phi}\)
Nou kan ik dit opzich wel bewijzen door de laten zien dat de rotatie 0 is (hierbij denk ik even in cilindercoordinaten en veronderstel de z coordinaat 0), maar mijn vraag is of het ook direct kan. Bij carthesische coordinaten is dit simpel, gewoon laten zien dat de gemengde partiele afgeleiden van de potentiaalfunctie gelijk zijn. Hoe kan ik dat hier doen?

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Je wilt dus differentiatie omzetten van charthesisce coördinaten naar poolcoördinaten. Daar eerst maar eens naar kijken:
\(\frac{\partial }{\partial \phi}= \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \phi} + \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \phi}= -y \frac{\partial }{\partial x} + x \frac{\partial }{\partial y} \)
\(\frac{\partial }{\partial r}= \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}= ( x \frac{\partial }{\partial x} + y \frac{\partial }{\partial y} ) / r\)
\(\frac{\partial }{\partial x}= -\frac{y}{r^2} \frac{\partial }{\partial \phi} + \frac{x}{r} \frac{\partial }{\partial r}= -\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \cos(\phi) \frac{\partial }{\partial r}\)
\(\frac{\partial }{\partial y}= \frac{x}{r^2} \frac{\partial }{\partial \phi} + \frac{y}{r} \frac{\partial }{\partial r}= \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \sin(\phi) \frac{\partial }{\partial r}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
\(\frac{\partial }{\partial x}= \frac{y}{r^2} \frac{\partial }{\partial \phi} + \frac{x}{r} \frac{\partial }{\partial r}= -\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \cos(\phi) \frac{\partial }{\partial r}\)
\(\frac{\partial }{\partial y}= \frac{x}{r^2} \frac{\partial }{\partial \phi} + \frac{y}{r} \frac{\partial }{\partial r}= \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \sin(\phi) \frac{\partial }{\partial r}\)

\(\frac{\partial A \cdot \hat{y}}{\partial x}= \frac{\partial A \cdot \hat{x}}{\partial y}\)
\(\frac{\partial ( A_r \hat{r} + A_{\phi} \hat{\phi} ) \cdot \hat{y}}{\partial x}= \frac{\partial ( A_r \hat{r} + A_{\phi} \hat{\phi} ) \cdot \hat{x}}{\partial y}\)
\(\frac{\partial ( A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi) ) \cdot \hat{y}}{\partial x}= \frac{\partial ( A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi) ) \cdot \hat{x}}{\partial y}\)
\(( -\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \cos(\phi) \frac{\partial }{\partial r} ) ( A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi) )= ( \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \sin(\phi) \frac{\partial }{\partial r} )( A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi) )\)

\(-\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi)}{\partial \phi} + \cos(\phi) \frac{\partial A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi)}{\partial r}= \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi)}{\partial \phi}+ \sin(\phi) \frac{\partial A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi)}{\partial r}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

(sorry, ik kon het vorige tekstje niet meer editten)

Dan nu alles bij elkaar:
\(\frac{\partial A \cdot \hat{y}}{\partial x}= \frac{\partial A \cdot \hat{x}}{\partial y}\)
Dus:
\(( -\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \cos(\phi) \frac{\partial }{\partial r} ) ( A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi) )= ( \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial }{\partial \phi} + \sin(\phi) \frac{\partial }{\partial r} )( A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi) )\)


Dan:
\(-\frac{\sin(\phi)}{r} \frac{\partial A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi)}{\partial \phi}+ \cos(\phi) \frac{\partial A_r \sin(\phi) + A_{\phi} \cos(\phi)}{\partial r}\)
.......
\(= \frac{\cos(\phi)}{r} \frac{\partial A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi)}{\partial \phi}+ \sin(\phi) \frac{\partial A_r \cos(\phi) - A_{\phi} \sin(\phi)}{\partial r}\)
En met wat uitwerken:
\(- \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \phi}+ \frac{1}{r} A_{\phi}}+ \frac{\partial A_{\phi}}{\partial r}\)
Is dat wat je zoekt?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

oscar2 , ik wil dit graag begrijpen. Mijn eerste vraag is dan of je bedoeld: de omzetting van cartes. coordinaten naar sferische poolcoordinaten of de omzetting van cart. naar cilindrische poolcoordinaten?

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Bij mijn weten zijn poolcoordinaten 2D...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Kan iemand mij een wiskundeboek aanraden, waar de berekening van oscar2 stap voor stap wordt uitgelegd.???

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Is dat wat je zoekt?
Dit is precies wat ik bedoelde. Hartelijk dank voor de uitleg, ik kan hem volledig volgen.

Ik denk alleen wel dat de opgave waardoor ik hier op kwam niet op deze manier doelde aangezien dit wat lastiger was dan ik vantevoren dacht. Maar niettemin hartelijk dank pi.gif

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

@michel: graag gedaan.

@aad,

Bedankt voor je belangstelling. Helaas heb ik niet zo een boek voor je. Ik heb het gewoon heel vaak gedaan. Daardoor krijg ik het nu redelijk vlot opgeschreven. Misschien dat de vragensteller je verder kan helpen. Die is redelijk geavanceerd bezig.

Maar het stelt uiteindelijk ook weer niet zo heel veel voor hoor. Het eerste stuk gaat over de relatie tussen pool- en cartesische coordinaten: x = rcos(phi) en y = rsin(phi). Door de kettingregel handig toe te passen kun je een afgeleide in het ene stelsel uitdrukken in termen van het andere. (df/dr = df/dx*dx/dr + df/dy*dy/dr, etc).

Het handige zit hem er vooral in dat je eerst d/dr en d/dphi uitdrukt in d/dx en d/dy en niet andersom. Zo heb je veel minder vervelende vergelijkingen op te lossen. De ene transformatie in de andere omzetten doe je gewoon door het stelsel van twee vergelijkingen op te lossen. Je ziet dat ik x, y, r en phi door elkaar gebruik. Dat is geen probleem, zolang je op ieder moment maar onthoudt of je variabelen x en y zijn of r en phi. Zo kun je cos(phi) handig schrijven als x/r, etc.

Bij het tweede deel vul ik de functie van de vragensteller in. Het gaat bij hem niet om een functie maar om een (2D) vector. Wat hij schreef was: de gemengde tweede afgeleiden (van de potentiaalfunctie) zijn aan elkaar gelijk (als deze functie conservatief is). De vector bestaat dan uit Ax = df/dx en Ay = df/dy. Dan moet dus gelden dAx/dy = dAy/dx. Dat heb ik uitgewerkt.

Uiteindelijk valt er ineens heel veel weg. Dat heb je vaak. Het differentieren (met de productregel) geeft een aantal termen. Links en rechts krijg je vergelijkbare termen. Soms heeft de term aan de ene kant cos^2(phi) en aan de ander kan -sin^2(phi). Dan haal je die naar de andere kant waarna die twee samen één geven. Andere termen aan de ene en de andere kant van het =-teken zijn helemaal gelijk. Dan vallen ze gewoon weg. Zo hou je uiteindelijk het gevraagde over. Zoals gezegd gaat dit heel vaak zo, zo dat je ook weer niet al te bang moet zijn voor dit soort lange vergelijkingen.

Wel in de gaten houden dat Ar en Aphi allebei een functie van r en phi zijn. Dat kreeg ik pas later door.

Ik hoop dat dit een beetje is wat je zoekt.

Groet. Oscar

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Bij carthesische coordinaten is dit simpel, gewoon laten zien dat de gemengde partiele afgeleiden van de potentiaalfunctie gelijk zijn.
Volgens mij is dat niet de enige vereiste. Een conservatieve vectorveld heeft wel een gemengde partiele afgeleiden die 0 is, maar andersom is dit niet altijd waar.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Blijkbaar had reussue het over de potentiaalfunctie, niet over het vectorveld. Maar dan nog, een conservatief vectorveld kan een potentiaalfunctie hebben waarvan de gemengde partiële afgeleiden niet 0 zijn hoor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Stel F=Pi+Qj, dan is F conservatief als dp/dy-dq/dx=0 en F is simply-open connected. Dit is wat ik me herinner.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Bedoel je (of reussue) met dp/dy en dq/dx "gemengde" partiële afgeleide?

Voor de potentiaalfunctie verstond ik daaronder d²(f)/(dxdy), als gemengd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Ik dacht dat reussue dat bedoelde, mijn fout. :D
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Re: Conservatief vectorveld in poolcoordinaten

Kan iemand mij een wiskundeboek aanraden, waar de berekening van oscar2 stap voor stap wordt uitgelegd.???
Ik zou niet weten in welk boek deze berekening van oscar2 wordt uitgelegd. Ik zelf heb mijn kennis over vectorvelden uit Calculus: A Complete Course van Adams.

Voor de rest is het een kwestie van differenieren, er wordt enkele malen de kettingregel toegepast daar zit denk vooral de moeilijkheid in.

Ik bedoelde met gemengde partiele afgeleiden inderdaad de tweede afgeleiden van de potentiaalfunctie. Dus de eigenschap dat:
\(\frac{ \partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
waarbij f de potentiaalfunctie is.

Reageer