De normaalvector n is van de z-as af gericht.
Stelling van stokes
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Stelling van stokes
Gebruik de stelling van Stokes om de volgende integraal te berekenen:
De normaalvector n is van de z-as af gericht.
\(\int \int_{\Sigma} (curl\ \ \vec{F}) \cdot \vec{n} .dS\)
Met:\(\vec{F}(x,y,z)=z^2.y.\hat{i}-x.\hat{j}+z.\sin x^2.y^2.z.\hat{k}\)
Met sigma is het oppervlak van de cilinder\(x^2+y^2=15\)
tussen de platte vlakken z=-1 en z=2 De normaalvector n is van de z-as af gericht.
- Berichten: 3.330
Re: Stelling van stokes
Ziehier voor mij een schema van oplossing zonder rekenen:
Grondvl cil
\(\int_{\Sigma}\int(curl\vec{F}).\vec{n}\mbox{dS}=\int_{C_1}\vec{F}\mbox{d}\vec{r}-\int_{C_2}\vec{F}\mbox{d}\vec{r}\)
Grondvl cil
\( C_1:\vec{r}=\sqrt{15}\cos(t)i+\sqrt{15}\sin(t)j-k\)
Bovenvl cil \( C_2:\vec{r}=\sqrt{15}\cos(t)i+\sqrt{15}\sin(t)j+2k\)
\(\int_{C_1}\vec{F}\mbox{d}\vec{r}-\int_{C_2}\vec{F}\mbox{d}\vec{r}=\int_{C_1}(F_xdx+F_ydy+F_zdz)-...\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 3.330
Re: Stelling van stokes
Als dit juist is moet men dus 0 vinden ?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: Stelling van stokes
Het gaat hier om het manteloppervlak van de open cilinder ( de buitenkant)
De berekening ziet er goed uit.
Antwoord moet zijn:
De berekening ziet er goed uit.
Antwoord moet zijn:
\(45 .\pi\)
- Berichten: 3.330
Re: Stelling van stokes
Ik begreep dat het over de manteloppervlakte ging. Maar ik zie niet direct mijn fout
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.746
Re: Stelling van stokes
waaruit haal je dat?Als dit juist is moet men dus 0 vinden ?
die twee cirkels heffen elkaar niet op he, het vectorveld verschilt in beide cirkels (is dus niet symetrisch tov het xy-vlak)
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: Stelling van stokes
Kotje, bij de curve C2 heb jij staan:
Wij bekijken de buitenkant. Dit betekent dat de curve C2 ( de bovenste cirkel) met de klok mee wordt doorlopen ,als je van boven op de cilinder kijkt. De curve C1 ( de onderste cirkel) wordt tegen de klok in doorlopen ,als je van boven af kijkt.
Moet zijn:
\(+\sqrt{15} .\sin t.\hat{j}\)
Dit moet zijn:\(- \sqrt{15} .\sin t .\hat{j}\)
Het manteloppervlak van de open cilinder heeft 2 orientaties. ( buitenkant en binnenkant)Wij bekijken de buitenkant. Dit betekent dat de curve C2 ( de bovenste cirkel) met de klok mee wordt doorlopen ,als je van boven op de cilinder kijkt. De curve C1 ( de onderste cirkel) wordt tegen de klok in doorlopen ,als je van boven af kijkt.
Moet zijn:
\(\int_{C1} \vec{F} .d\vec{r} + \int_{C2} \vec{F} .d\vec{r} \)