Orthogonale krommen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Orthogonale krommen

Gegeven volgende familie orthogonale hyperbolen
\(y=\frac{C}{x} \mbox{, } C\neq\ 0\)
.

Zoek de eventuele familie krommen, die er loodrecht op staan en maak figuur.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Orthogonale krommen

Inproduct gebruiken.

Berichten: 2.746

Re: Orthogonale krommen

wij noemen dat een schaar krommen

Elimineer C uit y(x) en y'(x) => y'(x)=-y(x)/x

vervang y'(x) door -1/y'(x)

dan krijg je een DV en de oplossing is de orthogonale schaar. op het eerst zicht kan ik die DV niet met de hand oplossen.

heb ik ergens een fout gemaakt?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Orthogonale krommen

Je hebt geen fout gemaakt, methode is juist.

Vervangen van y' door -1/y' levert:
\(y' = - \frac{y}{x} \to - \frac{1}{{y'}} = - \frac{y}{x} \Leftrightarrow y' = \frac{x}{y}\)
Scheiden van veranderlijken en integreren:
\(ydy = xdx \Rightarrow y^2 = x^2 + c \Leftrightarrow y^2 - x^2 = c\)
En dat is weer een familie hyperbolen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Orthogonale krommen

Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:
\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\)
.Ook even vitten pi.gif
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 2.746

Re: Orthogonale krommen

dat had TD wel door denk ik, die twee wegdelen heeft hij gewoon samen genomen in zn stap met integreren.

en C/2 is weer een willlekeurige constante

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Orthogonale krommen

Ik ben daar van overtuigd, maar alleen voor de duidelijkheid.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Orthogonale krommen

hyperbolen.JPG
hyperbolen.JPG (43.04 KiB) 520 keer bekeken
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Orthogonale krommen

Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:
\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\)
.Ook even vitten :D
De factor 1/2 heb ik inderdaad direct laten vallen (nieuwe constante heet c).

Het is immers een vergelijking, dus de equivalentie is geen "fout" hoor... pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer