Zoek de eventuele familie krommen, die er loodrecht op staan en maak figuur.
Orthogonale krommen
- Berichten: 3.330
Orthogonale krommen
Gegeven volgende familie orthogonale hyperbolen
Zoek de eventuele familie krommen, die er loodrecht op staan en maak figuur.
\(y=\frac{C}{x} \mbox{, } C\neq\ 0\)
.Zoek de eventuele familie krommen, die er loodrecht op staan en maak figuur.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.746
Re: Orthogonale krommen
wij noemen dat een schaar krommen
Elimineer C uit y(x) en y'(x) => y'(x)=-y(x)/x
vervang y'(x) door -1/y'(x)
dan krijg je een DV en de oplossing is de orthogonale schaar. op het eerst zicht kan ik die DV niet met de hand oplossen.
heb ik ergens een fout gemaakt?
Elimineer C uit y(x) en y'(x) => y'(x)=-y(x)/x
vervang y'(x) door -1/y'(x)
dan krijg je een DV en de oplossing is de orthogonale schaar. op het eerst zicht kan ik die DV niet met de hand oplossen.
heb ik ergens een fout gemaakt?
- Berichten: 24.578
Re: Orthogonale krommen
Je hebt geen fout gemaakt, methode is juist.
Vervangen van y' door -1/y' levert:
Vervangen van y' door -1/y' levert:
\(y' = - \frac{y}{x} \to - \frac{1}{{y'}} = - \frac{y}{x} \Leftrightarrow y' = \frac{x}{y}\)
Scheiden van veranderlijken en integreren:\(ydy = xdx \Rightarrow y^2 = x^2 + c \Leftrightarrow y^2 - x^2 = c\)
En dat is weer een familie hyperbolen."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Orthogonale krommen
Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:
\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\)
.Ook even vitten pi.gifVolgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.746
Re: Orthogonale krommen
dat had TD wel door denk ik, die twee wegdelen heeft hij gewoon samen genomen in zn stap met integreren.
en C/2 is weer een willlekeurige constante
en C/2 is weer een willlekeurige constante
- Berichten: 3.330
Re: Orthogonale krommen
Ik ben daar van overtuigd, maar alleen voor de duidelijkheid.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 3.330
- Berichten: 24.578
Re: Orthogonale krommen
De factor 1/2 heb ik inderdaad direct laten vallen (nieuwe constante heet c).Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\).Ook even vitten
Het is immers een vergelijking, dus de equivalentie is geen "fout" hoor... pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)