Pagina 1 van 1
Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 08:34
door kotje
Gegeven volgende familie orthogonale hyperbolen
\(y=\frac{C}{x} \mbox{, } C\neq\ 0\)
.
Zoek de eventuele familie krommen, die er loodrecht op staan en maak figuur.
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 08:55
door EvilBro
Inproduct gebruiken.
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 08:58
door stoker
wij noemen dat een schaar krommen
Elimineer C uit y(x) en y'(x) => y'(x)=-y(x)/x
vervang y'(x) door -1/y'(x)
dan krijg je een DV en de oplossing is de orthogonale schaar. op het eerst zicht kan ik die DV niet met de hand oplossen.
heb ik ergens een fout gemaakt?
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 09:44
door TD
Je hebt geen fout gemaakt, methode is juist.
Vervangen van y' door -1/y' levert:
\(y' = - \frac{y}{x} \to - \frac{1}{{y'}} = - \frac{y}{x} \Leftrightarrow y' = \frac{x}{y}\)
Scheiden van veranderlijken en integreren:
\(ydy = xdx \Rightarrow y^2 = x^2 + c \Leftrightarrow y^2 - x^2 = c\)
En dat is weer een familie hyperbolen.
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 10:55
door kotje
Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:
\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\)
.Ook even vitten pi.gif
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 10:58
door stoker
dat had TD wel door denk ik, die twee wegdelen heeft hij gewoon samen genomen in zn stap met integreren.
en C/2 is weer een willlekeurige constante
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 11:12
door kotje
Ik ben daar van overtuigd, maar alleen voor de duidelijkheid.
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 11:30
door kotje
- hyperbolen.JPG (43.04 KiB) 535 keer bekeken
Re: Orthogonale krommen
Geplaatst: di 10 jul 2007, 12:28
door TD
Misschien niet direct een fout, maar ik denk dat ge in eerste instantie je 2 vergeten hebt bij de integratie:
\(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C\)
.Ook even vitten
De factor 1/2 heb ik inderdaad direct laten vallen (nieuwe constante heet c).
Het is immers een vergelijking, dus de equivalentie is geen "fout" hoor... pi.gif
