Springen naar inhoud

Stokes (2)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 13:45

Grbruik de stelling van Stokes om de volgende integraal te berekenen.
LaTeX
Het oppervlak
LaTeX
is samengesteld uit alle vlakken van de kubus , behalve het vlak wat in het platte vlak z=1 ligt. De normaalvector is op alle vlakken naar buiten gericht.
[attachment=359:scan0008.jpg]
LaTeX
LaTeX

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2007 - 16:51

Ik denk kubus snijden door vlak door ACGA en Stokes 2-maal toepassen d.w.z. 2-maal een lijnintegraal berekenen over rechthoek ACGA met de juiste orientatie. Veel rekenwerk denk ik pi.gif
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#3

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 17:10

Er komt uit:
LaTeX
Het rekenwerk stelt bij deze opgave niets voor. Ik denk dat de meeste mensen problemen hebben met het feit of je bij een bepaald oppervlak de stelling van Stokes mag toepassen. Als je wilt , dan wil ik dat wel uitleggen.

#4

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2007 - 17:54

Ik zal met plezier je uitleg lezen, eventueel bestuderen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2007 - 19:14

Ik verbaas me enigzins over de volgorde waarin je de 'Stokes-opgaven' stelt. Deze vraag vereist veel minder inzicht dan de vorige (mijn inziens). Het is gewoon recht toe recht aan de stelling toepassen (de contour is hier veel voor de hand liggender dan bij de vorige vraag). Ik ben daarom ook benieuwd wat de gedachte achter deze volgorde is.

#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2007 - 19:29

Ik meende dat het bovenvlak er ook bij was.Een beetje te vlug gelezen. Evilbro bedoelt hoogstwaarschijnlijk de contour van het bovenvlak van de kubus dan ben ik het met hem eens.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2007 - 19:38

Ik meende dat het bovenvlak er ook bij was.

Dan wordt de vraag nog makkelijker.

Evilbro bedoelt hoogstwaarschijnlijk de contour van het bovenvlak van de kubus

Maar natuurlijk. Het 'lastigste' van deze vraag is te bepalen welke kant je de contour rond moet, maar daar hebben we een rechterhand voor natuurlijk. pi.gif

#8

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 19:47

De opgaven komen uit ""Calculus with Analytic Geometry"" van Robert Ellis en Denny Gulick.
De opgave met de cilinder was Vraag:16 en de opgave met de kubus is vraag:17.
Dus er zit verder geen gedachte achter.

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2007 - 20:02

EvilBro schreef:

Maar natuurlijk. Het 'lastigste' van deze vraag is te bepalen welke kant je de contour rond moet, maar daar hebben we een rechterhand voor natuurlijk.

Natuurlijk met de duim in de zin van de normaal nemen we de normaal vast en kijken hoe de vingers zich krommen...
Is de oplossing die ik voorstel als het bovenvlak erbij is misschien verkeerd? Is er een eenvoudiger?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 20:15

[attachment=361:scan0010.jpg]
Laten we even aannemen dat we de grafiek hebben van
LaTeX
Dit is een boloppervlak met middelpunt in de oorsprong en straal R=2
Deze bol wordt door het x y -vlak in 2 halve bollen opgedeeld. Laten we de halve bol bekijken die boven het xy-vlak zit.
Dit oppervlak noemen we een tweezijdig oppervlak ofwel het oppervlak heeft 2 orientaties. ( de buitenkant van de halve bol en de binnenkant van de halve bol).
Wat verder nog opvalt ,is dat de 2 orientaties van elkaar gescheiden zijn door een gesloten curve. ( in dit voorbeeld de cirkel x^2+y^2=4) . Het gegeven dat de 2 orientaties gescheiden zijn door 1 gesloten curve is essentieel. Als er meer dan 1 gesloten curve is, dan geldt de stelling van Stokes in principe niet.
In de afbeelding zie je op het tweede plaatje de onderste halve bol. De vectoren die je ziet zijn normaalvectoren, die naar buiten wijzen. Dit betekend dat we de buitenkant van het oppervlak beschouwen. Bij het derde plaatje staan de normaalvectoren naar binnen toe. Hier beschouwen we de binnenkant van het oppervlak. Verder is er nog 1 ding belangrijk. Als je een punt neemt op de bovenste halve bol, dan is de richting van de normaalvector in dat punt eenduidig bepaald. Dat moet voor alle punten van een gekozen orientatie van het oppervlak gelden. Dat betekend dat er in principe geen ribben of vouwen in het oppervlak mogen zitten, want op zo''n ribbe is de richting van de normaalvector niet eenduidig bepaald.
Nu gaan we een verband aanbrengen tussen de orientatie van het oppervlak en de omloopzin van de curve C.
(ga straks weer verder).

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 juli 2007 - 20:21

Om de lijnintegraal te berekenen moet men de parametervgl van de stukken schrijven(niet zo moeilijk, maar toch opletten), dan invullen en de 4 integralen berekenen. Ik voorzie veel werk en fouten. Ik denk dat men hier beter rechtstreeks de oppervlakte integraal berekent.(voor open kubus)
Dus met de gegevens van aadkr in de vorige posting kunnen we de stelling Stokes hier niet toepassen en moeten we rechtstreeks de integraal berekenen denk ik.(ik kende de gegevens niet omdat ik bezig was met mijn posting)

Veranderd door kotje, 10 juli 2007 - 20:28

Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juli 2007 - 20:30

Is de oplossing die ik voorstel als het bovenvlak erbij is misschien verkeerd?

Wat verkeerd is, is de aanname dat het veel rekenwerk is. Je hebt namelijk twee keer dezelfde contour, alleen doorloop je hem in twee verschillende richtingen (ga maar eens spelen met je rechterhand pi.gif ).


Ik denk dat men hier beter rechtstreeks de oppervlakte integraal berekent.(voor open kubus)

Goed, schrijf jij die dan even uit? Dan schrijf ik de methode via de contour wel even uit:
LaTeX

#13

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 20:48

[attachment=362:scan0011.jpg]
In de afbeelding zie je hoe de orientatie van het oppervlak ( de buitenkant van de halve bol , Sigma 1 ) gekoppeld wordt aan de omloopzin van de gesloten curve. Als we dit toepassen op de bovenste halve bol x^2+y^2+z^2=4 , dan zal het buitenoppervlak ( Sigma 1) een omloopzin geven van de curve die tegen de klok in gaat .( van bovenaf gezien). Het binnenoppervlak (Sigma 2) geeft een omloopzin van de curve, die met de klok mee gaat .( van bovenaf gezien).

Nog even een opmerking over de opgave van de open cubus. Het buitenoppervlak en het binnenoppervlak worden van elkaar gescheiden door een gesloten curve in de vorm van het vierkant (DEFG). Als we het buitenoppervlak bekijken, dan wordt de curve DEFG met de klok mee doorlopen. ( van boven af gezien). De vraag is nu: Mogen we hier zonder meer de Stelling van Stokes op los laten? Niet zonder meer. De richting van de normaalvectoren op het buitenoppervlak moet eenduidig bepaald zijn. En dat is hier niet zo, omdat als je een punt neemt op 1 van de ribben, dan is de richting van de normaalvector niet eenduidig bepaald. Wat we eerst moeten doen is controleren of we hier de stelling van Stokes op los kunnen laten. Dit controleren gaat als volgt: Haal de open cubus uit elkaar . Dan krijg je 5 vierkanten. Noem oppervlak OAED met n naar buiten gericht Sigma 1 , noem ABFE ( n naar buiten) Sigma 2 , noem BCGF Sigma 3 ,noem OCGD Sigma 4 , en noem OABC Sigma 5 .
Je hebt nu 5 oppervlakken, waarop je de stelling van stokes zonder meer kan toepassen. Elk van de 5 oppervlakken wordt begrensd door een gesloten curve . Teken nu de omloopzin van deze 5 curven. Ik zal hier een tekening van maken. (hopenlijk vanavond nog).

#14

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 21:35

[attachment=363:scan0012.jpg]

#15

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2007 - 22:37

We hebben nu aangetoond, dat de stelling van Stokes ook geldt voor het oppervlak ( Sigma) dat bestaat uit de 4 zijkanten en de bodem, en dat begrensd is door de curve DEFG die rechtsom wordt doorlopen ( van bovenaf gezien).
Als we nu een vierkant oppervlak ( Sigma 6) aanbrengen ( het onderoppervlak van het vierkante bovenvlak van de kubus,
Dan zijn Sigma en Sigma 6 begrensd door dezelfde curve DEFG die bij allebei rechtsom wordt doorlopen.
Als je dan de oppervlakteintegraal van curl F berekend over Sigma 6 , dan komt daar hetzelfde antwoord uit als dat je de oppervlakteintegraal berekend van curl F over de 5 zijvlakken van de open kubus.
LaTeX
LaTeX
Uitkomst = -1/2





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures