Springen naar inhoud

Kwadriek reduceren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2007 - 08:51

kan iemand het volgende eens bekijken? en mijn fout(en) eruit halen?
die gereduceerde carthesiaanse vergelijking is al fout denk ik, maar ik vind geen fout :D
en het terug omzetten van de parametervergelijking, naar zijn oorspronkelijke positie, is mijn methode daar juist?

dank je, je zou me een groot plezier doen!
> vgl:=2*x^2-7*y^2+z^2+4*x*z-2*y*z-12*x*y-2*z+10*y = 0:
> A0:=<<2,-6,2>|<-6,-7,-1>|<2,-1,1>>:
> Eigenvectors(A0):
allemaal verschillend, ideaal dus, de eigenvectoren staan dus allemaal loodrecht op elkaar
> 
> g1:=<2,-1,1>:
> g2:=<-2/5,1/5,1>:
> g3:=<1/2,1,0>:
> xi[1]:=g1/Norm(g1,2):
> xi[2]:=g2/Norm(g2,2):
> xi[3]:=g3/Norm(g3,2):
> C[0]:=<xi[2]|xi[1]|xi[3]>;

						[	1/2	  1/2	   1/2 ]
						[  30		6		 5	]
						[- -----	 ----	  ---- ]
						[   15		3		 5   ]
						[						   ]
						[   1/2		1/2	   1/2]
				C[0] := [ 30		  6	   2 5   ]
						[ -----	 - ----	------]
						[  30		  6		5   ]
						[						   ]
						[   1/2	   1/2		   ]
						[ 30		 6			  ]
						[ -----	  ----	   0   ]
						[   6		 6			 ]

> Determinant(C[0]):
> simplify(%):
> C[0]^(%T).A0.C[0]:
> tf:=C[0].<X,Y,Z>:
> xtf:=tf[1];
> ytf:=tf[2];
> ztf:=tf[3];

							 1/2	  1/2	  1/2
						   30	X   6	Y   5	Z
				  xtf := - ------- + ------ + ------
							 15		3		5


						   1/2	  1/2		1/2
						 30	X   6	Y   2 5	Z
				  ytf := ------- - ------ + --------
						   30		6		 5


								1/2	  1/2
							  30	X   6	Y
					   ztf := ------- + ------
								 6		6

> vgl2:=simplify(subs([x=xtf,y=ytf,z=ztf],vgl)):
> with(student):
> vgl2:=completesquare(vgl2,[X,Y,Z]);

					   /	 1/2\2		 /	 1/2\2
					   |	5   |		  |	6   |
		   vgl2 := -10 |Z - ----|  + 1 + 6 |Y - ----|  = 0
					   \	 5  /		  \	 6  /

> Ztf:=Z+sqrt(5)/5:
> Ytf:=Y+sqrt(6)/6:
> vgl3:=subs([Z=Ztf,Y=Ytf],vgl2):
> vgl4:=Z^2/(1/10)-Y^2/(1/6)=1:
cilinder, hyperbolisch
> 
> P:=[u,sqrt(1/6)*sinh(v),sqrt(1/10)*cosh(v)]:
controle
> 
> subs([Z=P[3],Y=P[2]],vgl3):
> simplify(%):
ok!
> 
en nu terug zetten naar zijn originele toestand
> P2:=<P[1],P[2]-sqrt(5)/5,P[3]-sqrt(6)/6>;

						[			u			]
						[						 ]
						[					 1/2 ]
						[	  1/2		   5	]
						[ 1/6 6	sinh(v) - ---- ]
				  P2 := [					 5   ]
						[						 ]
						[					  1/2]
						[	   1/2		   6   ]
						[1/10 10	cosh(v) - ----]
						[					  6  ]

> P3:=simplify(C[0]^(%T).P2);

  P3 :=

		[										1/2  1/2  1/2
		[	  1/2				1/2		   5	2	3	u
		[1/30 5	sinh(v) + 1/6 3	cosh(v) - ----------------
		[											  15

			1/2  1/2	1/2]
		   2	3	  5   ]
		 - --------- - ----]
			  30		6  ]

		[										 1/2  1/2
		[					 1/2  1/2		   2	3	u
		[-1/6 sinh(v) + 1/30 3	5	cosh(v) + -----------
		[											 3

			1/2  1/2  1/2	  ]
		   5	2	3		 ]
		 + -------------- - 1/6]
				 30			]

		[						  1/2		]
		[	  1/2  1/2		   5	u	  ]
		[1/15 5	6	sinh(v) + ------ - 2/5]
		[						   5		 ]

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2007 - 10:56

Ik ken weinig van Maple en je notaties/methode kan ik ook niet echt goed volgen.
Ik heb het zelf even uitgewerkt en vind een hyperbolische paraboloÔde, klopt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2007 - 16:37

Ik ken weinig van Maple en je notaties/methode kan ik ook niet echt goed volgen.
Ik heb het zelf even uitgewerkt en vind een hyperbolische paraboloÔde, klopt dat?

niet met mijn uitkomst.
bij mij verdwijnt de x-component na de transformatie naar de basistoestand van mijn kwadriek.
het is een hyperbolische cilender volgens mijn berekeningen.

en hoe zit jouw methode in elkaar?

Veranderd door superslayer, 14 juli 2007 - 16:46


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2007 - 17:39

Bij mij verdween net de (kwadratische) z-component, maar kan ook fout zijn.
Ik had het maar snel gedaan, na het avondeten kan ik mss wat grondiger kijken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2007 - 17:51

Al een foutje gevonden: hyperbolische cilinder lijkt te kloppen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2007 - 18:51

ok, en kan je me ook helpen met de parametervergelijking van de kwadriek in standaardtoestand terug om te zetten naar de gegeven kwadriek?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2007 - 20:03

Nog een nagerekend. Bij mij valt de z weg, maar het kan zijn dat het bij ons allebei klopt. Het ligt er namelijk maar aan hoe je draait (diagonaliseren is draaien), welke component wegvalt. Ik vind nu ook een hyperbolische cilinder. Zoek je nu een parametervergelijking of de cartesische standaardvorm (dus tov een geroteerd en verschoven assenstelsel)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2007 - 21:45

wel, de bedoeling van heet die oefening is: de parametervoorstelling zoeken van het gegeven oppervlak, via de methode van reduceren van kwadrieken.

1) roteren naar een standaarpositie
2) translatie naar de oorsprong
3) interpretatie en opstellen parametervoorstelling van oppervlak in basistoestand
4) de inverse translaties en rotaties uitvoeren, zodat het opp weer in gegeven stand komt, nu dus in paramtervoorstelling.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 juli 2007 - 10:33

Na rotatie en translatie verkrijg je de carthesische standaardvergelijking, van de vorm:

LaTeX

Parametervoorstellingen zijn echter niet uniek, een mogelijke parametrisering is bvb:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 juli 2007 - 12:22

zover was ik ook al, maar dan heb je een paramtervergelijking van je gereduceerde kwadriek
wat ik wil, is die parametervoorstelling terug omvormen naar die van de gegeven toestand.
dus de inverse van de transformatieformules, maar daar zit ik wat in de knoop

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 juli 2007 - 12:25

Ik weet niet hoe dat uit je Maple-bestand te halen is, maar als ik de kwadriek "met de hand" reduceer, dan heb ik bij de rotatie en de translatie ook de coŲrdinatentransformaties (voor x,y,z). Die van de rotatie volgen uit de orthogonale matrix van de diagonalizatie en die van de translatie uit het kwadraatafsplitsen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures