Limiet met integraal

kotje

Bepaal:

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\int_0^{2x}\sqrt{1+t³}\mbox{dt}}{x^\frac{5}{2}}\)

TD

Teller en noemer divergeren (gaan naar +∞), regel van l'Hôpital:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\int\limits_0^{2x} {\sqrt {1 + t^3 } \rm{d}t} }}{{x^{\frac{5}{2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{\rm{d}}{{\rm{d}x}}\int\limits_0^{2x} {\sqrt {1 + t^3 } \rm{d}t} }}{{\frac{\rm{d}}{{\rm{d}x}}\left( {x^{\frac{5}{2}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4\sqrt {1 + 8x^3 } }}{{5x^{\frac{3}{2}} }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{5}\)

kotje

Ik vind dit zeer goed gevonden.

kotje

Nog een limiet, die ik interessant vind:

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\mbox{x}(k^\frac{1}{x}-1)=?\)

k>0

TD

Ik vind dit zeer goed gevonden.

Had je hier misschien nog een andere aanpak voor?

Het afleiden van de integraal gebeurt met Leibniz.

TD

kotje schreef:Nog een limiet, die ik interessant vind:

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\mbox{x}(k^\frac{1}{x}-1)=?\)
k>0

Ik ga van x over naar y via x = 1/y en neem dan de rechterlimiet voor y naar 0:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x\left( {k^{x^{ - 1} } - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } \frac{{k^y - 1}}{y}\mathop = \limits^{\mbox{H}} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } \frac{{k^y \ln k}}{1} = \ln k\)

kotje

TD schreef:

Had je hier misschien nog een andere aanpak voor?

Neen, maar bij mij stond erbij dat ik l'Hôpital moest toepassen en Leibniz ken ik natuurlijk van andere postings.

stoker

TD schreef:Ik ga van x over naar y via x = 1/y en neem dan de rechterlimiet voor y naar 0:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {x\left( {k^{x^{ - 1} } - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } \frac{{k^y - 1}}{y}\mathop = \limits^{\mbox{H}} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ + } \frac{{k^y \ln k}}{1} = \ln k\)

je kan ook zonder die substitutie werken, gewoon van die x een 1/(1/x) maken

TD

Dat klopt, maar in y = 1/x worden de afgeleiden in zowel teller als noemer eenvoudiger, vandaar mijn keuze.

Bert F

Dus als ik het goed heb reken je die moelijke integraal

\(\int \sqrt{1+t^3}\)

niet uit?

is t ifv x? zo ja dan kan je de integraal samen met het afleiden schrappen?

TD

Je rekent die integraal inderdaad niet uit (gaat zelfs zomaar niet). Gewoon "wegvallen" tegen de afgeleide is het ook niet, zie de formule onderaan op de pagina die ik gaf (Leibniz). Je hebt dat ook gezien in het begin van Analyse II, afleiden van een integraal, afhangende van een parameter.

Bert F

Hoe zie je dat die moeilijke integraal niet uit te rekenen is? of vermoed je dat.

TD

Gefundeerd vermoeden, door ervaring. Zoals bij exp(-x²) bijvoorbeeld (error-functie).

Deze is natuurlijk wel te bepalen, maar dan ook weer met bijzondere functies (Elliptische).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet met integraal

Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal

Re: Limiet met integraal