Oneindige som berekenen
- Berichten: 3.330
Oneindige som berekenen
Bereken:
\(\sum_{k=2}^{\infty}\ln{(1-\frac{1}{k^2})\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Oneindige som berekenen
\(\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\ln \left( {1 - k^{ - 2} } \right)} = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {1 - k^{ - 2} } \right)} } \right) = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right)\)
Algemene factor gaat naar 1 voor k naar +â, zoals gewenst voor convergentie.
In de opeenvolgende factoren valt alles weg, behalve (k-1)/k vd eerste factor.
In k = 2 geeft dat 1/2 als oneindig product, zodat de reeks ln(1/2) = -ln(2) is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.068
Re: Oneindige som berekenen
Ik had het zo gedaan:
\(\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\ln \left( {1 - k^{ - 2} } \right)} = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {1 - k^{ - 2} } \right)} } \right) = \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ + \infty } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( {\prod\limits_{k = 2}^{ n } {\left( {\frac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{k^2 }}} \right)} } \right)\)
\(= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \left( \frac{n+1}{2 n} \right) = \ln \left( \frac{1}{2} \right)\)
De equivalentie van het product en de 'n-breuk' kun je aantonen met volledige inductie.- Berichten: 3.330
Re: Oneindige som berekenen
Ik had het zo berekend:
\(\sum_{k=2}^{\infty}\ln{\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(\ln\frac{k-1}{k}+\ln\frac{k+1}{k})=ln\frac{1}{2}+\ln\frac{2}{3}+\ln\frac{3}{2}+\ln\frac{3}{4}+\ln\frac{4}{3}+. . .=-\ln{2}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Oneindige som berekenen
Ook leuk, komt natuurlijk allemaal min of meer op hetzelfde neer.
Ik zie ook niet direct een volledige andere aanpak hiervoor...
Ik zie ook niet direct een volledige andere aanpak hiervoor...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)