Springen naar inhoud

[wiskunde] cyclo´de


  • Log in om te kunnen reageren

#1

rvdp

    rvdp


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2007 - 13:41

Heeft er iemand een link naar een site/document waar men de vergelijking van een cycloidale beweging stap voor stap opstelt. Het gaat over volgende vergelijkingen:

x=R(t-sin(t))
y=R(1-cos(t))

Hartelijk dank!

Veranderd door Jan van de Velde, 09 april 2009 - 18:49


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 juli 2007 - 14:35





#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 april 2009 - 18:08

Omdat de afbeeldingen van aadkr niet meer zichtbaar zijn, heb ik een uitleg geschreven.

Zoals bekend, is de cyclo´de gedefinieerd als de baan die beschreven wordt door een vast punt op een cirkel met straal 1 die met constante snelheid 1 langs de x-as rolt (zonder slippen); zie hier voor o.a. een animatie.

Bekijk de cirkel LaTeX , dus een cirkel met straal 1 en middelpunt (x,y)=(0,1). Op tijdstip t=0 begint de beweging, en het vaste punt P op de cirkel dat op t=0 in de oorsprong ligt gaat nu een cyclo´de beschrijven.

Beperk je even tot de beweging van het middelpunt M van de cirkel. Op tijdstip t=0 heeft M coordinaten (0,1). De snelheid langs de x-as is vx=1, dus de x-coordinaat op tijdstip t is gelijk aan vxt=t. Zoals duidelijk te zien in de animatie, is de y-coordinaat van M constant, dus gelijk aan 1. Kortom, op tijdstip t bevindt M zich op (t,1).

Op tijdstip t is het punt P precies een hoek van t radialen geroteerd ('clockwise') ten opzichte van het middelpunt M van de cirkel. We leggen nu een assenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met M, in andere woorden: het assenstelsel beweegt mee, zodat het middelpunt M altijd in rust is, en P beschrijft simpelweg een cirkel met middelpunt M en straal 1.
Je bent misschien geneigd nu te zeggen: simpel, de beweging van P in dit assenstelsel wordt gegeven door (x,y)=(cos t,sin t), zoals in de eenheidscirkel.
Er zijn echter twee aanpassingen nodig: de beweging begint niet in het punt (1,0) maar in (0,-1) [nog steeds t.o.v. het meebwegende assenstelsel], en de beweging (rotatie) is niet counterclockwise maar clockwise. Dit resulteert in de vergelijkingen LaTeX en LaTeX , hetgeen vereenvoudigt tot LaTeX , LaTeX . De mintekens komen van het feit dat de rotatie in het derde i.p.v. het eerste kwadrant begint, zodat zowel x als y negatief is.

Zie schets: cycloide.JPG

Superpositie van de twee bewegingen (translatie van middelpunt M en rotatie van punt P om M heen) geeft dus LaTeX voor de totale beweging.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures