[wiskunde] cycloïde

rvdp

Heeft er iemand een link naar een site/document waar men de vergelijking van een cycloidale beweging stap voor stap opstelt. Het gaat over volgende vergelijkingen:

x=R(t-sin(t))

y=R(1-cos(t))

Hartelijk dank!

aadkr

[attachment=404:scan0031.jpg]

[attachment=405:scan0032.jpg]

Phys

Omdat de afbeeldingen van aadkr niet meer zichtbaar zijn, heb ik een uitleg geschreven.

Zoals bekend, is de cycloïde gedefinieerd als de baan die beschreven wordt door een vast punt op een cirkel met straal 1 die met constante snelheid 1 langs de x-as rolt (zonder slippen); zie hier voor o.a. een animatie.

Bekijk de cirkel

\(x^2+(y-1)^2=1\)

, dus een cirkel met straal 1 en middelpunt (x,y)=(0,1). Op tijdstip t=0 begint de beweging, en het vaste punt P op de cirkel dat op t=0 in de oorsprong ligt gaat nu een cycloïde beschrijven.

Beperk je even tot de beweging van het middelpunt M van de cirkel. Op tijdstip t=0 heeft M coordinaten (0,1). De snelheid langs de x-as is v_x=1, dus de x-coordinaat op tijdstip t is gelijk aan v_xt=t. Zoals duidelijk te zien in de animatie, is de y-coordinaat van M constant, dus gelijk aan 1. Kortom, op tijdstip t bevindt M zich op (t,1).

Op tijdstip t is het punt P precies een hoek van t radialen geroteerd ('clockwise') ten opzichte van het middelpunt M van de cirkel. We leggen nu een assenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met M, in andere woorden: het assenstelsel beweegt mee, zodat het middelpunt M altijd in rust is, en P beschrijft simpelweg een cirkel met middelpunt M en straal 1.

Je bent misschien geneigd nu te zeggen: simpel, de beweging van P in dit assenstelsel wordt gegeven door (x,y)=(cos t,sin t), zoals in de eenheidscirkel.

Er zijn echter twee aanpassingen nodig: de beweging begint niet in het punt (1,0) maar in (0,-1) [nog steeds t.o.v. het meebwegende assenstelsel], en de beweging (rotatie) is niet counterclockwise maar clockwise. Dit resulteert in de vergelijkingen

\(x=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\)

en

\(y=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\)

, hetgeen vereenvoudigt tot

\(x=-\sin t\)

,

\(y=-\cost\)

. De mintekens komen van het feit dat de rotatie in het derde i.p.v. het eerste kwadrant begint, zodat zowel x als y negatief is.

Zie schets:

: cycloide.JPG (19.2 KiB) 289 keer bekeken

Superpositie van de twee bewegingen (translatie van middelpunt M en rotatie van punt P om M heen) geeft dus

\((x,y)=(t,1)+(-\sin t,\cos t)=(t-\sin t,1-\cos t)\)

voor de totale beweging.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] cycloïde

[wiskunde] cyclo

Re: [wiskunde] cyclo

Re: [wiskunde] cyclo