Juiste definitie van oneindig

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Juiste definitie van oneindig

De lezers hier zullen wel al gemerkt hebben dat het gebruik van oneindig in de wiskunde mij fascineert. Het is een symbool. Akkoord. Wat ik nu eens en voor altijd zou willen hebben: een juiste definitie van dit symbool. :D
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Juiste definitie van oneindig

een juiste definitie van dit symbool.
Dat kan wel eens lastig worden, want het symbool heeft een verschillende betekenis in verschillende contexten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Juiste definitie van oneindig

Misschien deze:
\(+\infty\)
Groter dan ieder eindig getal
\(-\infty\)
Kleiner dan ieder eindig getal.

Berichten: 614

Re: Juiste definitie van oneindig

niet-eindig

stopt-nooit

gaat-maar-door

houdt-nooit-op

:D
Stuur mij maar naar de hel, Petrus. Lekker warm.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Juiste definitie van oneindig

Een voorbeeld: 7+ :D =+ :D . Ik meen dat een optelling kan tussen getallen, maar + 8-) is een symbool? Dat zal dan een deel definitie zijn zeker?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Juiste definitie van oneindig

EvilBro heeft gelijk dat "oneindig" binnen de wiskunde in meerdere contexten wordt gebruikt. Ik vermoed dat jij doelt op degene waarmee je "rekent" bij de reële getallen. We vertrekken van (het veld van) de reële getallen. We gaan deze uitbreiden tot de vervolledigde reële rechte (ik noteer even R*), door toevoeging van de elementen, voorgesteld door de symbolen "+∞" en "-∞". Belangrijk is op te merken dat deze verzameling geen veld meer is.

Om gedeeltelijk te kunnen blijven rekenen zoals we gewoon zijn, definiëren we een aantal uitdrukkingen om de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging die we in R hadden, uit te breiden naar R*. We leggen onder andere het volgende vast (x reëel):

x + ∞ = +∞

x - ∞ = -∞

x.(+∞) = +∞ (als x > 0) of -∞ (als x < 0).

x.(-∞) = -∞ (als x > 0) of +∞ (als x < 0).

...

Deze rekenregels kunnen aannemelijk gemaakt worden aan de hand van limieten, een context waarin [plusmis]∞ reeds gedefinieerd kon worden. Vanuit deze limieten kan er aan (onder andere) volgende uitdrukkingen geen zinnige definitie gegeven worden, we noemen ze "onbepaald":

∞-∞, 0.( :D ), :D ∞ / 8-) ∞, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Juiste definitie van oneindig

Is ]- 8-) ,+ :D [ een open of gesloten interval?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Juiste definitie van oneindig

Wat doet men met volgende limiet:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,+\infty)}\mbox{xy}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Juiste definitie van oneindig

Is ]- :D ,+ :D [ een open of gesloten interval?
Zoals je het noteert, is het open, en dat klopt ook in 8-) .

Als je in :D * werkt, kan een oneindige grens ook gesloten zijn.

Zo is (-∞,+∞) = ]-∞,+∞[ = :? en [-∞,+∞] = :D *.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Juiste definitie van oneindig

Bij die limiet moet je toch y als funktie van x weten . Want oneindig x 0 is onbepaald.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Juiste definitie van oneindig

Ik had al over de tweede vraag heen gekeken, maar aadkr heeft hier gelijk.

Zoals je het nu schrijft, is de limiet onbepaald. Of is y gekend in functie van x?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Juiste definitie van oneindig

TD schreef:Zoals je het noteert, is het open, en dat klopt ook in :D .

Als je in :D * werkt, kan een oneindige grens ook gesloten zijn.

Zo is (-∞,+∞) = ]-∞,+∞[ = 8-) en [-∞,+∞] = :D *.
Dus ge bedoelt dat het bovenstaande interval in :D * zowel open als gesloten is als ik het goed begrijp.Toch eigenaardig niet!
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Juiste definitie van oneindig

Dus ge bedoelt dat het bovenstaande interval in :D * zowel open als gesloten is als ik het goed begrijp.
Nee, volgens mij zegt TD dat niet.
\(R \neq R^{*}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Juiste definitie van oneindig

Bij die limiet moet je toch y als funktie van x weten . Want oneindig x 0 is onbepaald.
y is hier als onafhankelijk veranderlijke bedoeld. Met onbepaald bedoelt ge dan kan alle waarden aannemen, zoals b.v. 0/0.

Er is echter een groot verschil bij 0/0 is dat duidelijk, bij bovenstaande is dit zo gedefinieerd(zie def. TD) en een definitie is vatbaar voor kritiek. Ik heb PeterPan hier ook nog weten beweren, meen ik, dat ook 0 een symbool is.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 7.068

Re: Juiste definitie van oneindig

... en een definitie is vatbaar voor kritiek.
Nee, een definitie is juist niet vatbaar voor kritiek. Dat is het hele punt. Het is iets dat je stelt en vanaf dat punt vertrek je. Je kan wel een andere definitie als uitgangspunt verkiezen, maar dat is een ander verhaal.

Reageer