Juiste definitie van oneindig

kotje

Evilbro schreef:

Nee, een definitie is juist niet vatbaar voor kritiek.

Kan ik niet mee eens zijn. Alles op deze wereld is vatbaar voor verantwoorde kritiek. Gödel heeft met zijn onvolledigingsstellingen zelfs de exactheid van de wiskunde en logica in t'algemeen in een ander daglicht gesteld.

TD

Dus ge bedoelt dat het bovenstaande interval in * zowel open als gesloten is als ik het goed begrijp.Toch eigenaardig niet!

Nee, gewoon

kan je noteren als (-∞,+∞) of ]-∞,+∞[. Dit is een open interval, -∞ en +∞ zijn immers geen reële getallen. Voeg je deze toe, om te komen tot

* (dit zijn niet de reële getallen), dan krijg je [-∞,+∞]. Zoals EvilBro al zei,

en

* zijn niet hetzelfde!

TD

kotje schreef:y is hier als onafhankelijk veranderlijke bedoeld. Met onbepaald bedoelt ge dan kan alle waarden aannemen, zoals b.v. 0/0.

Er is echter een groot verschil bij 0/0 is dat duidelijk, bij bovenstaande is dit zo gedefinieerd(zie def. TD) en een definitie is vatbaar voor kritiek. Ik heb PeterPan hier ook nog weten beweren, meen ik, dat ook 0 een symbool is.

Hoezo is dat "duidelijk" bij 0/0 en "gedefinieerd" bij 0.(

∞), anders dan bij 0/0?

Dat 0 een symbool is klopt, zoals elk cijfer waarmee we getallen voorstellen...

EvilBro

Alles op deze wereld is vatbaar voor verantwoorde kritiek.

Wijs mij de plek maar eens aan waar in deze wereld zich een definitie bevindt (als een fysiek object).

Gödel heeft met zijn onvolledigingsstellingen zelfs de exactheid van de wiskunde en logica in t'algemeen in een ander daglicht gesteld.

Gödel's onvolledigheidsstellingen laten de beperkingen zien (niet de exactheid) die alle formele systemen, dus ook logica en wiskunde, in zich dragen. Namelijk dat alle formele systemen stellingen bevatten die niet te bewijzen zijn binnen dat systeem. Die stellingen noemen we axioma's danwel definities. Dat is ook precies de reden dat definities zich niet laten becritiseren (ze worden namelijk gewoon als waar gesteld).

TD

Laten we het hier maar bij oneindig houden, voor je het weet zijn we vertrokken voor (weer?) een welles-nietes spelletje. Als daar interesse voor is, kunnen jullie in een nieuwe topic (in wiskunde of in filosofie, ligt eraan welke kan je uit wil) uitweiden over "definities" in het algemeen.

kotje

Evilbro schreef:

Gödel's onvolledigheidsstellingen laten de beperkingen zien (niet de exactheid) die alle formele systemen, dus ook logica en wiskunde, in zich dragen. Namelijk dat alle formele systemen stellingen bevatten die niet te bewijzen zijn binnen dat systeem. Die stellingen noemen we axioma's danwel definities. Dat is ook precies de reden dat definities zich niet laten becritiseren (ze worden namelijk gewoon als waar gesteld).

Ik meen niet dat ge hier niet alles vermeldt, Gödel heeft ook aangetoond dat in een axiomatisch systeem ook stellingen kunnen bewezen worden, die onwaar zijn.

kotje

Nee, gewoon kan je noteren als (-∞,+∞) of ]-∞,+∞[. Dit is een open interval, -∞ en +∞ zijn immers geen reële getallen. Voeg je deze toe, om te komen tot * (dit zijn niet de reële getallen), dan krijg je [-∞,+∞]. Zoals EvilBro al zei, en * zijn niet hetzelfde!

Ik meen als ge - en + oneindig gebruikt om

te definieren, ge al in

* zit. Dus

\((-\infty,+\infty)\)

is voor mij een interval in

*, dat zowel open als gesloten is.

TD

Nee, dat is fout. Ronde haakjes (of ]a,b[ kan ook) is een open interval.

Waar haal je het vandaan dat (-∞,+∞) open en gesloten zou zijn in

*...?

Wat bedoel je met -∞ en +∞ gebruiken om

te definiëren? Dat is niet nodig.

Maar (-∞,+∞) is inderdaad (ook) een interval in

*, het is echter niet heel

*.

kotje

Even een meer correcte weergave van mijn vorige bewering.

Ik bedoelde (-

,+

) is een deelverzameling(hier te bekijken als interval) van

* ,die zowel open als gesloten is.

TD

Waarom zowel open als gesloten? In

* is (-∞,+∞) open en [-∞,+∞] gesloten.

EvilBro

(Met onderdrukking van mijn lol wijs ik even op het volgende): open en gesloten zijn complementair (per definitie). Explicieter: het is niet mogelijk dat iets zowel open als gesloten is.

TD

Je zou nog verwonderd kunnen zijn, verzamelingen die open én gesloten zijn...

kotje

Waarom zowel open als gesloten? In * is (-∞,+∞) open en [-∞,+∞] gesloten.

Goed als ge het zo bekijkt hebt ge natuurlijk gelijk. Maar nog nooit van gans mijn leven heb ik een notatie gezien als [-

,+

], die

* voorstelt. Kunt ge mij een site tonen(buiten hier) waar dit wel gebeurt. De symbolen - en + oneindig worden blijkbaar nooit (tot nu toe voor mij) samen met de reële getallen in een interval opgenomen. Waarom weet ik niet, misschien omdat het symbolen zijn en niet echt reële getallen. Blijkbaar willen ze misschien maar alleen zeggen dat de reële getallen zich zowel links als rechts steeds maar verder zetten dus dat er geen eerste en ook geen laatste reëel getal is.

Ik kan natuurlijk ongelijk hebben, wel dan heb ik weer iets bijgeleerd.

EvilBro

Je zou nog verwonderd kunnen zijn, verzamelingen die open én gesloten zijn...

Ik ben makkelijk verwonderd, maar niet door zoiets. Wiskunde kun je zo raar maken als je het zelf wilt. De gebruikelijke definitie van gesloten (standaard topologie): een set is gesloten als zijn complement open is (Planetmath, wiki, Mathworld). Alleen als je 'truuks' gaat uithalen, en dan moet je al redelijk weten wat je aan het doen bent, dan kom je op gebieden waar we dingen als 'clopen' tegenkomen.

TD

kotje schreef:Goed als ge het zo bekijkt hebt ge natuurlijk gelijk. Maar nog nooit van gans mijn leven heb ik een notatie gezien als [-∞,+∞], die * voorstelt. Kunt ge mij een site tonen(buiten hier) waar dit wel gebeurt. De symbolen - en + oneindig worden blijkbaar nooit (tot nu toe voor mij) samen met de reële getallen in een interval opgenomen. Waarom weet ik niet, misschien omdat het symbolen zijn en niet echt reële getallen. Blijkbaar willen ze misschien maar alleen zeggen dat de reële getallen zich zowel links als rechts steeds maar verder zetten dus dat er geen eerste en ook geen laatste reëel getal is.

Ik kan natuurlijk ongelijk hebben, wel dan heb ik weer iets bijgeleerd.

Je kan intervallen met de symbolen -∞ en +∞ hebben in

, dus zonder dat je al over

* spreekt. Die intervallen worden op een bepaalde manier gedefinieerd, zie bijvoorbeeld hier. Daar zie je ook dat in die notaties, (-∞,+∞) precies

zelf is. Maar het is natuurlijk open, want -∞ en +∞ zijn geen elementen van

.

Voeg je deze wel toe om te komen tot een nieuwe verzameling, dan kan een interval met -∞ of +∞ ook gesloten zijn, vermits dit nu elementen zijn van de verzameling (Engels: "the extended reals"). Zie daarvoor bijvoorbeeld hier, waar de uitbreiding van

naar

* iets uitgebreider wordt behandeld. Zie ook hier.

NB: ik gebruikte

*, maar gewoonlijk noteert men

met een streep boven (dat ging hier zonder LaTeX niet goed).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig

Re: Juiste definitie van oneindig