\(\lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{1}{x}=2\)
Ik heb eens geprobeerd dit met de epsilon-delta definitie te bewijzen. Ik denk dat het bij proberen zal blijven pi.gifLaatste berichten
-
09:27
2013 – Augustus Vraag 3 2
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Epsilon-delta definitie
-
- Berichten: 3.330
Epsilon-delta definitie
Iedereen weet dat
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 2.589
Re: Epsilon-delta definitie
Ik wil het wel eens proberen maar waarschijnelijk klopt het toch niet. We hebben:
als we nu
Groeten.
\(\forall \epsilon>0 \ \ \exists \delta >0 : |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon \)
als we nu
\(2\)
als limiet waarden nemen bijkomend nemen we \(f(x)=\frac{1}{2} \)
(we laten x naar 1/2 gaan) dan volgt toch: \(|2-2|<\epsilon\)
en daar epsilon groter dan nul is geldt dit laatste zeker, nul is kleiner dan een getal dat strikt groter dan nul is zodat de lim gevonden lijkt?Groeten.
-
- Berichten: 24.578
Re: Epsilon-delta definitie
Er geldt:
Als we δ < 1/4 nemen, dan volgt uit |x-1/2| < δ < 1/4 dat x ligt in (1/2-δ,1/2+δ).
Hieruit volgt x > 1/2-δ > 1/4, dus we schatten de noemer af (verkleinen):
Samen met de voorwaarde δ <1/4 kiezen we δ = min{1/4,ε/8}.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:0<\left| {x - \frac{1}{2}} \right| < \delta \Rightarrow \left| {\frac{1}{x} - 2} \right| < \varepsilon \)
We werken verder met de laatste uitdrukking:\(\left| {\frac{1}{x} - 2} \right| = \left| {\frac{{2x - 1}}{x}} \right| = \left| {\frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right| < \frac{\delta }{{\left| {\frac{x}{2}} \right|}} = \frac{{2\delta }}{{\left| x \right|}}\)
We moeten opletten dat x niet naar 0 gaat, dan wordt de noemer 0.Als we δ < 1/4 nemen, dan volgt uit |x-1/2| < δ < 1/4 dat x ligt in (1/2-δ,1/2+δ).
Hieruit volgt x > 1/2-δ > 1/4, dus we schatten de noemer af (verkleinen):
\(\left| {\frac{1}{x} - 2} \right| = = \left| {\frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right| < \frac{{2\delta }}{{\left| x \right|}} < \frac{{2\delta }}{{\frac{1}{4}}} = 8\delta \)
We zien dat aan de definitie voldaan is, als we 8δ<ε nemen of dus δ<ε/8.Samen met de voorwaarde δ <1/4 kiezen we δ = min{1/4,ε/8}.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.589
Re: Epsilon-delta definitie
idd zo zoek je de limiet.
Stel dat je de limiet reeds kent kan je dan mbv mijn redenering aantonen dat het de limiet moet zijn?
Stel dat je de limiet reeds kent kan je dan mbv mijn redenering aantonen dat het de limiet moet zijn?
-
- Berichten: 24.578
Re: Epsilon-delta definitie
Hier is de functie continu in x = 1/2, dus de limietwaarde valt samen met de functiewaarde.
Dan is het logisch dat in x = a, f(a)-L met L de limiet 0 gaat zijn, want f(a) is dan precies L.
Dan is het logisch dat in x = a, f(a)-L met L de limiet 0 gaat zijn, want f(a) is dan precies L.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Re: Epsilon-delta definitie
Ik heb de zaak bekeken en ik kan geen opmerkingen maken. Ik zal echter de oplossing nog eens moeten bekijken om ze misschien volledig te begrijpen. Dat komt wel na de zaak even te laten rusten en dan opnieuw te lezen.
Nog even een vraag:
Zij
Nog even een vraag:
Zij
\(f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} +1&\mbox{als}&x>0\\-1&\mbox{als}&x<0\end{array}\right\)
Kan men nu met epsilon-delta definitie bewijzen dat \(\lim_{x\rightarrow0}\mbox{f(x)}\)
niet bestaat.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Epsilon-delta definitie
Je kan de linker- resp rechterlimiet bepalen (al dan niet uitschrijven met epsilon-delta, liever niet...) en die zullen verschillen: daaruit kan je concluderen dat de limiet niet bestaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: Epsilon-delta definitie
Voor iedere (epsilon>0) moet er een (delta>0) te vinden zijn, zodanig dat als x behoort tot het open interval <0-delta, 0+delta> dat dan F(x) behoort tot open interval < L-epsilon ,L+epsilon>
Neem op de y as een willekeurige limietwaarde L aan ,en kies epsilon=0,1 .
Je zult bij deze epsilon=0,1 nooit een waarde delta>0 kunnen vinden ,zodanig dat voor alle x behorende tot <-delta, +delta> geldt dat f(x) behoort tot <L-0,1 , L+0,1 >. Als je hiervan een tekening maakt, is dit goed te zien.
Neem op de y as een willekeurige limietwaarde L aan ,en kies epsilon=0,1 .
Je zult bij deze epsilon=0,1 nooit een waarde delta>0 kunnen vinden ,zodanig dat voor alle x behorende tot <-delta, +delta> geldt dat f(x) behoort tot <L-0,1 , L+0,1 >. Als je hiervan een tekening maakt, is dit goed te zien.
-
- Berichten: 3.330
Re: Epsilon-delta definitie
Ik probeer formeel op te schrijven wat aadkr grafisch gedaan heeft.
Zij
Zij
\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)=L\)
Dan \(\vert\mbox{f(x)-L}\vert<\epsilon\mbox{ als }\vert\mbox{x-0}\vert<\delta\)
Nemen we \(\epsilon=1\)
dan voldoen \(\frac{\delta}{2},-\frac{\delta}{2}\mbox{ aan }\vert\mbox{x-0}\vert<\delta\)
We hebben nu \(\vert \ f(\frac{\delta}{2})-L\vert<1\mbox{ en }\vert\ f(-\frac{\delta}{2})-L}\vert<1\)
Dus \(\vert1-L\vert<1\mbox{ en }\vert-1-L\vert<1\)
Of 0<L<2 en -2<L<0 wat een contradictie is dus ...Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
