Inhoud bol

lucca

inhoud cirkel 4/3∏ R³

Nu ben ik zelf bezig, dmv integreren, de gegeven formule uit te krijgen

Om de inhoud van een cirkel te verkrijgen zal ik een omwentelingsgrafiek van een wortelfunctie moeten genereren.

oftewel [wortel]x

Door deze functie te integreren krijg ik de oppervlakte onder de gevraagde x- waardes

integraal van [wortel]x --> 2/3x^{1 1/2}

nu kan ik de inhoud voor elke willekeurige x -waarde berekeken, m.a.w. ook voor elke grootte straal van de bol, mits ik hem laat roteren.

In theorie zijn er oneindig veel ''sigmentjes'' die een deel van de inhoud geven wanneer de wortelfunctie ronddraait. (zie plaatje)

Mijn vraag luidt dan als volgt, mag ik dan zomaar aannemen dan ik de integraal met 2∏R mag vermenigvuldigen, gezien dit de ''willekeurige'' omtrek is van de cirkel dus ook daardoor ook de meest mogelijke sigmentjes genereert?

Om heel eerlijk te zijn, denk ik van niet, vandaag ook mijn vraag, en of misschien iemand mijn een hint in de goede richting kan geven.

alvast bedankt!

TD

Met een vierkantswortel beschrijf je geen (halve) cirkel hoor, dus zo kom je ook niet aan een bol...

Het is een stuk eenvoudiger in bolcoördinaten, maar als je echt wil kan het ook gewoon cartesisch.

lucca

ow..

hoe ga je dan te werk met bolcoördinaten(een eerste opzetje?)

TD

Kan je bolcoördinaten of misschien al poolcoördinaten?

dirkwb

: bol.JPG (12.05 KiB) 820 keer bekeken

Een manier waarop je het kan aanpakken is een halve bol te pakken en alle "plakjes" van de bol op te tellen via integratie.

Op een hoogte x van de bol bereken je de oppervlakte van de cirkel via pythagoras, dan volgt de inhoud door x te integreren van 0 tot de straal r van de bol:

\( \pi \cdot \int_0^r (\sqrt{(r^2-x^2)})^2 dx \)

lucca

nog niet zo thuis in carthesische coördinaten,

maar nu stel,

je hebt een lijn in een assenstelsel bijv. y = 1

en je zou deze laten ronddraaien, dan krijg je een cilinder

primitiveren levert F(x) = 1 x¹

stel dat je de lijn y = 2 hebt, levert dit 2 x ¹

oftewel, r x ¹ hier stel ik ''r'' dus als variabele die afhankelijk is van de y - waarde

de integraal levert het oppervlak onder de gevraagde waardes,

als ik hem laat ronddraaien, vermenigvuldig ik heb met de omtrek van de cirkel

deze is 2pi x r (afhankelijk van hoogte y, en dus gelijk aan variabele zie hierboven)

dan zou er volgen :

2pi r^2 x = inhoud cilinder

is dit logisch, of maak ik een fout?

aadkr

\(V=\int_{x=0}^{x=R} 2\pi x 2 \sqrt{R^2-x^2} .dx\)

\(V=4 \pi \int x.\sqrt{R^2-x^2} .dx\)

\(V=-\frac{1}{2}.4.\pi \int \sqrt{R^2-x^2} .d(R^2-x^2)}\)

lucca

al een stuk wijzer,

wetende dat de inhoud berekend kan worden door

\(pi \int_a^b f(x) dx [/itex] te gebruikenen zoals vermeld stond [tex] y = \sqrt{(r^2+x^2)} [\tex]dit samenbrengen levert, [tex] pi \int_a^b (\sqrt{(r^2+x^2)})^2 dx \)

door de macht, valt de wortel weg en ontstaat,

[te]pi \int_a^b \sqrt{(r^2+x^2)} dx [/tex]

\( x^2 --> 1/3x^3 [\tex]

maar wat moet ik met r doen?

volgens mij zit ik zo wel op de goede weg (hoop ik..)\)

lucca

al een stuk wijzer, (inhoud bol!)

wetende dat de inhoud berekend kan worden door (zie onder) te gebruiken

\(pi \int_a^b (f(x))^2 dx \)

en zoals vermeld stond

\( y = \sqrt{(r^2+x^2)} \)

dit samenbrengen levert,

\( pi \int_a^b (\sqrt{(r^2+x^2)})^2 dx \)

door de macht, valt de wortel weg en ontstaat,

\(pi \int_a^b \sqrt{(r^2+x^2)} dx \)

\( x^2 --> 1/3x^3 \)

maar wat moet ik met r doen? (niet zomaar

\(1/3r^3\)

volgens mij zit ik zo wel op de goede weg (hoop ik..)

Morzon

Als

\(x^2+y^2=r^2\)

dan is

\(y(x)=\sqrt{r^2-x^2}, -\sqrt{r^2-x^2}\)

Een van beide omwentellen om de x-as.

Dus

\(V=\pi \int_{-r}^r \left(y(x)\right)^2 \ dx\)

lucca

weet ik, dat heb ik ook al gedaan,

en dan krijg je juist,

\( V = pi \int_r^r (r^2-x^2) dx \)

en dat kun je dan intregreren,

\(x^2 levert 1/3x^3\)

maar wat levert

\( r^2\)

kotje

: bol.JPG (24.87 KiB) 827 keer bekeken

lucca

u zegt,

\( V = \pi \int_r^r (r^2) dx. - \pi \int_r^r (x^2) dx. \)

\( \pi r^2x \)

en dan volgt er een teken wat ik nog niet eigen ben. (sowieso ben ik nog niet eigen met integreren, dat krijg ik volgend jaar pas, maar vond het wel eens aardig toch al wat te proberen)

wellicht dat ik de stap dan ook niet snap van,

\( \pi r^2x \)

(en verder)

daarentegen snap ik wel dat er

\( 1/3 r^3 \)

ontstaat,

dus misschien dat u die ene stap nader kunt toelichten!

de rest is wel logisch! (dus dat is helder!)

alvast bedankt,

Morzon

Morzon schreef:Als
\(x^2+y^2=r^2\)
dan is
\(y(x)=\sqrt{r^2-x^2}, -\sqrt{r^2-x^2}\)
Een van beide omwentellen om de x-as.

Dus
\(V=\pi \int_{-r}^r \left(y(x)\right)^2 \ dx\)

\(\int x^n \ dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)

Dit is alles wat je nodig hebt om dit te integreren.

Voorbeeld 1:

\(\int x \ dx =\frac{1}{2}x^2+C\)

Voorbeeld 2:

\(\int 1 \ dx =\int x^0 \ dx = x+C\)

Voorbeeld 3:

\(\int k \ dx = kx+C\)

(k is dus een constante)

voorbeeld 4:

\(\int_a^b x^2 \ dy = \left[x^2 y \right]_a^b=x^2 b -x^2 a\)

Dus

\(V=\pi \int_{-r}^r \left(y(x)\right)^2 \ dx=\pi \int_{-r}^{r} \left(r^2-x^2 \right) \ dx =\pi \left( \int_{-r}^{r} r^2 \ dx - \int_{-r}^{r} x^2 \ dx \right)\)

nu jij:

lucca

volgens mij ben ik een beetje onduidelijk, maar ik probeer het nogmaals

het 2de gedeelte (rode) is mij volkomen duidelijk,

dit wordt geïntegreerd naar

\(1/3x^3\)

maar hoe verkrijgen jullie(of u) het gele gedeelte, wat doen jullie daar anders mee dan met het rode?

dat is mij niet helemaal duidelijk, wellicht zou een van jullie mij die ene stap nogmaals duidelijk kunnen uitleggen!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inhoud bol

Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol

Re: Inhoud bol