Springen naar inhoud

Wiskundige aspecten bij afleiden wet Stefan-Boltzmann uit wet van Planck


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2007 - 13:05

Even vooraf #1: ik heb zitten twijfelen waar ik deze vraag precies zou neerzetten. Het betreft een onderwerp op het grensvlak van de wis- en natuurkunde. Uiteindelijk toch maar gekozen voor het huiswerk forum, aangezien ik al een tijdje aan het worstelen ben met dit probleem.

Even vooraf #2: ik heb een achtergrond in de thermodynamica maar heb geen natuurkunde of theoretische fysica gestudeerd (ik kom uit de scheikunde - nikx mis mee maar als ik 't overnieuw mocht doen dan wist ik 't wel...). Ik probeer al een tijdje om mijn wiskundige kennis en kunde naar een hoger plan te tillen, zodat ik meer fundamentele kwesties in de thermodynamica beter kan begrijpen. De grenzen tussen de vakgebieden vervagen. Wil je de ontwikkelingen bijhouden op enig niveau, dan moet je blijkbaar een absolute kei in wiskunde zijn (en zover ben ik zeker nog niet). In dat kader onderstaand probleem.

HET PROBLEEM

De wet van Planck luidt

Geplaatste afbeelding

Door dit te integreren over de frequentie ν (tussen de grenzen ∞ en 0) kun je hieruit de wet van Stefan-Boltzmann afleiden. De integraal is van het type

Geplaatste afbeelding

In grote lijnen komt het bepalen van deze integraal neer op 3 stappen:
  • De integrand uitdrukken in een "power series" (Nederlandse term schiet me even niet te binnen)
  • Het herkennen dat iederen term in de reeks convergent is, waardoor de volgorde van sommatie en integratie kan worden omgedraaid
  • Het herkennen dat de sommatie links van de integraal neerkomt op de Zeta-functie van Riemann ζ(n + 1) terwijl de integraal zelf neerkomt op de Gamma-functie Γ(n + 1).
Ik heb ook nog een andere aanpak gezien die volledig gebaseerd is op contour-integratie, maar dat zegt me nog helemaal niks. Daarom ga ik maar even verder op grond van bovenstaande drietrapsraket.

De eerste twee stappen snap ik :D (er is hoop). De derde stap is ongetwijfeld gesneden koek voor theoretisch natuurkundigen, maar ik kan er helemaal niks mee. Als je e.e.a. gaat opzoeken op internet dan kom je uit bij websites met een encyclopedisch karakter: er wordt niks uitgelegd, er wordt omschreven. En dat op een (voor mij) te hoog niveau. Voorbeeld hiervan voor de Zeta functie. Daaruit blijkt overigens dat het bewijs dat de Zeta functie in dit geval gelijk is aan LaTeX 4/90 ook weer geleverd kan worden d.m.v. contour-integratie. Toch een onderwerp waar ik iets mee moet, blijkbaar.

Lang verhaal kort: kan iemand mij op een begrijpelijke wijze meenemen in het oplossen van deze integraal. Mijn dank is bij voorbaat groot :D .
Growing older is mandatory. Growing up is not.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.




0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers


Gesponsorde vacatures

Vacatures