Springen naar inhoud

0 tot de macht 0


  • Log in om te kunnen reageren

#1

foodanity

    foodanity


  • >100 berichten
  • 177 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2007 - 22:51

Oke, axioma: LaTeX neem dan x=0, je krijgt: LaTeX maar klopt dit wel?

Immers:
LaTeX

Het volgende axioma: LaTeX zegt dus: LaTeX

dus LaTeX en wat volgens het andere axioma, de waarde 1, oplevert. Maar ik heb altijd geleerd dat delen door nul is flauwekul, wie kan me helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2007 - 23:38

Het feit dat x^0 = 1, is geen axioma. Het is een definitie, maar eigenlijk 'volgt' het uit de eigenschappen van rekenregels van machten, die we algemeen willen behouden. Zo geldt x^a/x^b = x^(a-b) en als je hierin a = b neemt dan is het rechterlid 1 terwijl het linklid x^0 is.

Deling door 0 is niet gedefinieerd, dus 0/0 is zeker niet 1. In de context van limieten (van functies) is het een onbepaalde vorm, die nog eender welke (al dan niet reële) limiet kan hebben. Maar de 'uitdrukking' 0/0 op zich, is niet gedefinieerd.

Om terug te komen naar 0^0, hier is geen consensus over. Als je het 'veilig' wil spelen, dan noem je dit ook een onbepaalde vorm omdat het equivalent is met andere onbepaalde vormen. Je zit met 0^x = 0 voor x niet 0 en x^0 = 1 voor x niet 0. Als men het toch definieert, gewoonlijk uit gemakszucht voor notaties, dan neemt men 0^0 = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Hansicarpus

    Hansicarpus


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 04:57

Als men het toch definieert, gewoonlijk uit gemakszucht voor notaties, dan neemt men 0^0 = 1.

Het is denk ik net iets meer dan een notationele gemakszucht. Dit is een toepasselijke link.

Persoonlijk zou ik opteren voor:

1. De limiet van de rij (y_n)^(x_n) (positieve waarden) voor (x_n,y_n)->(0,0) is 1, voor 'bijna alle' rijtjes.
2. Het aantal functies van de lege verzameling naar zichzelf is 1.
3. Deze 'wet' heeft haar tegenhangers in de logische operatie =>.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 07:55

Het is enigszin motiveerbaar ja, maar het blijft een keuze (die niet iedereen maakt). Motivatie ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 12:45

Oke, axioma: LaTeX

zegt dus: LaTeX


Ik zou zeggen dat deze fout is, omdat je in de stap LaTeX een bestaande breuk (0/1) vermenigvuldigt met een niet gedefinieerde breuk (1/0).

Ik zou nog altijd zeggen dat 0^0 = 1.


Denis

Veranderd door Phys, 26 januari 2008 - 18:05

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#6

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 14:16

x^o = x^(-1) * x = 1/x * x/1

lim 1/x *x/1 = oo * o
x->o

lim x/x = o/o
x->o

lim 1/1 = 1 ---> de l'Hopital
x->o


Ziezo bewijs

Veranderd door Keith, 22 augustus 2007 - 14:19

The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 14:29

Helaas pindakaas, maar dat is geen bewijs.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 14:36

Hmmm mja ...

Toch is die limiet 1, en een bewijs is pas geldig als het voor alle getallen geldt...dus ik vraag me af...Is dit eigenlijk wel te bewijzen of aan te tonen wat 0^0 eigenlijk is ?

--> volgens die limiet zou oo^0 ook 1 zijn...
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#9

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 14:37

x^o = x^(-1) * x = 1/x * x/1

lim 1/x *x/1 = oo * o
x->o

lim x/x = o/o
x->o

lim 1/1 = 1 ---> de l'Hopital
x->o
Ziezo bewijs


Je hebt inderdaad aangetoond dat de limiet naar 0 van x0 1 is.
En hoe bewijs je hier verder mee dat 00 gelijk is aan 1?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2007 - 14:40

Niet, zie ook de eerdere links. Er valt niks te bewijzen, het is niet gedefinieerd.
Ofwel laat je het zo (niet gedefinieerd, onbepaald in de context van limieten),
ofwel definieer je het - op een zo zinvol mogelijke manier - bijvoorbeeld als 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Hansicarpus

    Hansicarpus


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2007 - 01:18

Laat ik dan een voorbeeld geven waar 0^0 wel gedefinieerd/berekenbaar is, dat gebaseerd is op de meest oorspronkelijke manier van rekenen (de 'appel-methode') :

We werken enkel met de basis van de rekenkunde: natuurlijke getallen, en dan wel opgevat als eindige cardinalen, d.w.z. equivalentieklassen van eindige verzamelingen met evenveel elementen.

Geen paniek, een voorbeeld: 3 = de klasse van alle verzamelingen met drie elementen.

#(A) = de cardinaliteit ('grootte') van verzameling A

Bijvoorbeeld: voor een verzameling A met drie elementen geldt: #(A)=3

N = de categorie van eindige verzamelingen en functies tussen eindige verzamelingen.

We definiëren:

n+m = #(A + B) = #(A unie B)
n x m = #(A x B)
n^m = #(A^B) = #(functies van A naar B)

gegeven dat ( #(A)=n en #(B)=m ) en ( A doorsnede B = ledig )

dan is het bewijsbaar dat 0^0=1. De conventie zit natuurlijk in het achterliggende formalisme, maar het is niet vergezocht, integendeel, en de afspraak van een formalisme is onvermijdelijk. De 'problemen' duiken pas op in de overstap van discreet naar continu, maar het laatste is een secundair gegeven. Als je de categorie N verkleint tot {0,1} dan krijg je respectievelijk de logische operaties +='of', x='en' en ^='als ... dan ...'.

#12

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2007 - 16:09

Hansicarpus Dat formalisme ken ik niet echt (en de link naar categorie heb ik ook niet bekeken), hoewel ik er wel nog min of meer van gehoord heb. Maar het lijkt mij dat het laatste niet n^m geeft maar m^n. Dan kan ik wel begrijpen dat het wellicht uit het formalisme volgt.

#13

Herman Bastiaans

    Herman Bastiaans


  • >25 berichten
  • 69 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2007 - 17:02

Het lijkt mij dat je eerst de definitie van machtsverheffen begint bij de natuurlijke getallen met 0 inbegrepen analoog aan optellen en vermenigvuldigen. Vanuit twee axioma’s of grondstellingen LaTeX en LaTeX kun je dan stellingen of wetten gaan bewijzen met volledige inductie. Daarna ga je de definitie uitbreiden naar de verzameling LaTeX bijvoorbeeld en dan wil je natuurlijk dat de grondstellingen uit LaTeX ook hier gelden, maar gelden dan alle stellingen wel?
a, b en c zijn natuurlijke getallen.

LaTeX LaTeX
LaTeX LaTeX

Een stelling is b.v. LaTeX
Niet elke stelling gaat mee met “uitbreiding” naar een andere verzameling met de definitie van machtsverheffen in deze verzameling.
Deze stelling geldt wel binnen LaTeX maar niet binnen LaTeX .
LaTeX geldt binnen LaTeX maar binnen LaTeX geldt niet LaTeX

#14

Hansicarpus

    Hansicarpus


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 augustus 2007 - 02:09

Hansicarpus Dat formalisme ken ik niet echt (en de link naar categorie heb ik ook niet bekeken), hoewel ik er wel nog min of meer van gehoord heb. Maar het lijkt mij dat het laatste niet n^m geeft maar m^n. Dan kan ik wel begrijpen dat het wellicht uit het formalisme volgt.

Goeie opmerking, het moest natuurlijk zijn: 'functies van B naar A'. Het rekenen met cardinalen is standaard verzamelingenleer. Categorietheorie, de metatheorie van de wiskunde en de moderne 'verbetering' van de verzamelingenleer, komt jammer genoeg (voorlopig?) welhaast enkel voor in de academische wereld. Het is in aanzet een vrij eenvoudige theorie, maar relatief nieuw en abstract, vandaar vrij onbekend en ondergewaardeerd.

Het lijkt mij dat je eerst de definitie van machtsverheffen begint bij de natuurlijke getallen met 0 inbegrepen analoog aan optellen en vermenigvuldigen.

Herman geeft in feite een mooie verdediging van het idee dat 0^0=1 eerder het eenvoudige gevolg is van een onontbeerlijke conventie: in de elementaire rekenkunde wordt de machtsverheffing recursief gedefinieerd. Er is geen andere zinnige mogelijkheid voor een recursieve definitie (in N) dan als startpunt 'X1: voor alle x: x^0=1' te kiezen om het gebruikelijke idee van machten te bekomen. 0^0 (of x^0) gelijkstellen aan iets anders dan 1 zou hier neerkomen op het inbouwen van een geforceerde uitzondering die bovendien de basiseigenschappen van machten zou verknallen.

#15

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2007 - 22:55

Ik heb wiskunde gestudeerd ja. Ik herinner er mij zoals ik zei wel iets van. Het is effe vermeld in de laatste cursus algebra. Ik heb de link even bekeken en wat daar summier staat is allemaal wel aan bod gekomen.

Maar om op 0^0 terug te komen: het lijkt me dat idd in veel gebieden 0^0 gelijk is aan één, maar zeggen dat het onbepaald is is dus niet fout, dan kan het ook één zijn.

Lijkt me zo een beetje als dat in complexe analyse oneindig*nul=nul en oneindig/oneindig=1.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures