0 tot de macht 0

foodanity

Oke, axioma:

\(x^0 = 1\)

neem dan x=0, je krijgt:

\(0^0 = 1\)

maar klopt dit wel?

Immers:

\(0^0 = 0^{-1} \cdot 0^1\)

Het volgende axioma:

\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)

zegt dus:

\(0^0 = \frac {1}{0} \cdot \frac {0}{1} = \frac{1 \cdot 0}{0 \cdot 1} = \frac{0}{0}\)

dus

\(0^0 = \frac{0}{0}\)

en wat volgens het andere axioma, de waarde 1, oplevert. Maar ik heb altijd geleerd dat delen door nul is flauwekul, wie kan me helpen?

TD

Het feit dat x^0 = 1, is geen axioma. Het is een definitie, maar eigenlijk 'volgt' het uit de eigenschappen van rekenregels van machten, die we algemeen willen behouden. Zo geldt x^a/x^b = x^(a-b) en als je hierin a = b neemt dan is het rechterlid 1 terwijl het linklid x^0 is.

Deling door 0 is niet gedefinieerd, dus 0/0 is zeker niet 1. In de context van limieten (van functies) is het een onbepaalde vorm, die nog eender welke (al dan niet reële) limiet kan hebben. Maar de 'uitdrukking' 0/0 op zich, is niet gedefinieerd.

Om terug te komen naar 0^0, hier is geen consensus over. Als je het 'veilig' wil spelen, dan noem je dit ook een onbepaalde vorm omdat het equivalent is met andere onbepaalde vormen. Je zit met 0^x = 0 voor x niet 0 en x^0 = 1 voor x niet 0. Als men het toch definieert, gewoonlijk uit gemakszucht voor notaties, dan neemt men 0^0 = 1.

Hansicarpus

Als men het toch definieert, gewoonlijk uit gemakszucht voor notaties, dan neemt men 0^0 = 1.

Het is denk ik net iets meer dan een notationele gemakszucht. Dit is een toepasselijke link.

Persoonlijk zou ik opteren voor:

1. De limiet van de rij (y_n)^(x_n) (positieve waarden) voor (x_n,y_n)->(0,0) is 1, voor 'bijna alle' rijtjes.

2. Het aantal functies van de lege verzameling naar zichzelf is 1.

3. Deze 'wet' heeft haar tegenhangers in de logische operatie =>.

TD

Het is enigszin motiveerbaar ja, maar het blijft een keuze (die niet iedereen maakt). Motivatie ook hier.

HosteDenis

Oke, axioma:
\(x^0 = 1\)
zegt dus:
\(0^0 = \frac {1}{0} \cdot \frac {0}{1} = \frac{1 \cdot 0}{0 \cdot 1} = \frac{0}{0}\)

Ik zou zeggen dat deze fout is, omdat je in de stap

\(\frac {1}{0} \cdot \frac {0}{1}\)

een bestaande breuk (0/1) vermenigvuldigt met een niet gedefinieerde breuk (1/0).

Ik zou nog altijd zeggen dat 0^0 = 1.

Denis

Keith

x^o = x^(-1) * x = 1/x * x/1

lim 1/x *x/1 = oo * o

x->o

lim x/x = o/o

x->o

lim 1/1 = 1 ---> de l'Hopital

x->o

Ziezo bewijs

TD

Helaas pindakaas, maar dat is geen bewijs.

Keith

Hmmm mja ...

Toch is die limiet 1, en een bewijs is pas geldig als het voor alle getallen geldt...dus ik vraag me af...Is dit eigenlijk wel te bewijzen of aan te tonen wat 0^0 eigenlijk is ?

--> volgens die limiet zou oo^0 ook 1 zijn...

ZVdP

Keith schreef:x^o = x^(-1) * x = 1/x * x/1

lim 1/x *x/1 = oo * o

x->o

lim x/x = o/o

x->o

lim 1/1 = 1 ---> de l'Hopital

x->o

Ziezo bewijs

Je hebt inderdaad aangetoond dat de limiet naar 0 van x⁰ 1 is.

En hoe bewijs je hier verder mee dat 0⁰ gelijk is aan 1?

TD

Niet, zie ook de eerdere links. Er valt niks te bewijzen, het is niet gedefinieerd.

Ofwel laat je het zo (niet gedefinieerd, onbepaald in de context van limieten),

ofwel definieer je het - op een zo zinvol mogelijke manier - bijvoorbeeld als 1.

Hansicarpus

Laat ik dan een voorbeeld geven waar 0^0 wel gedefinieerd/berekenbaar is, dat gebaseerd is op de meest oorspronkelijke manier van rekenen (de 'appel-methode') :

We werken enkel met de basis van de rekenkunde: natuurlijke getallen, en dan wel opgevat als eindige cardinalen, d.w.z. equivalentieklassen van eindige verzamelingen met evenveel elementen.

Geen paniek, een voorbeeld: 3 = de klasse van alle verzamelingen met drie elementen.

#(A) = de cardinaliteit ('grootte') van verzameling A

Bijvoorbeeld: voor een verzameling A met drie elementen geldt: #(A)=3

N = de categorie van eindige verzamelingen en functies tussen eindige verzamelingen.

We definiëren:

n+m = #(A + B) = #(A unie B)

n x m = #(A x B)

n^m = #(A^B) = #(functies van A naar B)

gegeven dat ( #(A)=n en #(B)=m ) en ( A doorsnede B = ledig )

dan is het bewijsbaar dat 0^0=1. De conventie zit natuurlijk in het achterliggende formalisme, maar het is niet vergezocht, integendeel, en de afspraak van een formalisme is onvermijdelijk. De 'problemen' duiken pas op in de overstap van discreet naar continu, maar het laatste is een secundair gegeven. Als je de categorie N verkleint tot {0,1} dan krijg je respectievelijk de logische operaties +='of', x='en' en ^='als ... dan ...'.

kee

Hansicarpus Dat formalisme ken ik niet echt (en de link naar categorie heb ik ook niet bekeken), hoewel ik er wel nog min of meer van gehoord heb. Maar het lijkt mij dat het laatste niet n^m geeft maar m^n. Dan kan ik wel begrijpen dat het wellicht uit het formalisme volgt.

Herman Bastiaans

Het lijkt mij dat je eerst de definitie van machtsverheffen begint bij de natuurlijke getallen met 0 inbegrepen analoog aan optellen en vermenigvuldigen. Vanuit twee axioma’s of grondstellingen

\(X1\)

en

\(X2\)

kun je dan stellingen of wetten gaan bewijzen met volledige inductie. Daarna ga je de definitie uitbreiden naar de verzameling

\(\zz\)

bijvoorbeeld en dan wil je natuurlijk dat de grondstellingen uit

\(\nn\)

ook hier gelden, maar gelden dan alle stellingen wel?

a, b en c zijn natuurlijke getallen.

\(X1\)

\(a^0 = 1\)

\(X2\)

\(a^{b+1} = a^b*a\)

Een stelling is b.v.

\(a^{b+c} = a^b*a^c\)

Niet elke stelling gaat mee met “uitbreiding” naar een andere verzameling met de definitie van machtsverheffen in deze verzameling.

Deze stelling geldt wel binnen

\(\nn\)

maar niet binnen

\(\cc\)

.

\((a^b)^c=a^{bc}\)

geldt binnen

\(\nn\)

maar binnen

\(\cc\)

geldt niet

\(((-1)^\frac{1}{2})^2=((-1)^2)^\frac{1}{2}\)

Hansicarpus

Hansicarpus Dat formalisme ken ik niet echt (en de link naar categorie heb ik ook niet bekeken), hoewel ik er wel nog min of meer van gehoord heb. Maar het lijkt mij dat het laatste niet n^m geeft maar m^n. Dan kan ik wel begrijpen dat het wellicht uit het formalisme volgt.

Goeie opmerking, het moest natuurlijk zijn: 'functies van B naar A'. Het rekenen met cardinalen is standaard verzamelingenleer. Categorietheorie, de metatheorie van de wiskunde en de moderne 'verbetering' van de verzamelingenleer, komt jammer genoeg (voorlopig?) welhaast enkel voor in de academische wereld. Het is in aanzet een vrij eenvoudige theorie, maar relatief nieuw en abstract, vandaar vrij onbekend en ondergewaardeerd.

Het lijkt mij dat je eerst de definitie van machtsverheffen begint bij de natuurlijke getallen met 0 inbegrepen analoog aan optellen en vermenigvuldigen.

Herman geeft in feite een mooie verdediging van het idee dat 0^0=1 eerder het eenvoudige gevolg is van een onontbeerlijke conventie: in de elementaire rekenkunde wordt de machtsverheffing recursief gedefinieerd. Er is geen andere zinnige mogelijkheid voor een recursieve definitie (in N) dan als startpunt 'X1: voor alle x: x^0=1' te kiezen om het gebruikelijke idee van machten te bekomen. 0^0 (of x^0) gelijkstellen aan iets anders dan 1 zou hier neerkomen op het inbouwen van een geforceerde uitzondering die bovendien de basiseigenschappen van machten zou verknallen.

kee

Ik heb wiskunde gestudeerd ja. Ik herinner er mij zoals ik zei wel iets van. Het is effe vermeld in de laatste cursus algebra. Ik heb de link even bekeken en wat daar summier staat is allemaal wel aan bod gekomen.

Maar om op 0^0 terug te komen: het lijkt me dat idd in veel gebieden 0^0 gelijk is aan één, maar zeggen dat het onbepaald is is dus niet fout, dan kan het ook één zijn.

Lijkt me zo een beetje als dat in complexe analyse oneindig*nul=nul en oneindig/oneindig=1.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

0 tot de macht 0

0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0

Re: 0 tot de macht 0