Gem chi kwadraat.

Bert F

In volgende defineert men een chi kwadraat verdeling:

Afbeelding

Waarom is dat gemiddelde gelijk aan het aantal? Of nog waarom is de gemiddelde waarde van zi gelijk aan 1? Iemand enig idee? Groeten.

EvilBro

\(Z = N(0,1) \rightarrow E[Z] = 0 \rightarrow \sigma^2 = E[Z^2] - (E[Z] )^2 = E[Z^2] = 1\)

\(X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_N^2 \rightarrow E[X] = E[ Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_N^2] = E[Z_1^2] + E[Z_2^2] + \cdots + E[Z_N^2]\)

\(= E[Z^2] + E[Z^2] + \cdots + E[Z^2] = n \cdot E[Z] = n \cdot 1 = n\)

gast004

Z_i heeft niet 1 als gemiddelde waarde (μ), maar 0. Het is een standaard normale verdeling (zie hier).

De gemiddelde waarde (μ) van een chi-kwadraatverdeling vinden we zo:

μ = E[X] = E[ΣZ_i²] = ΣE[Z_i²] = ΣE[(Z_i -0)²]

Hierbij is E[(Z_i -0)²]=Σ_Zi²=1,

zodat μ=n.

Waarbij X=ΣZ_i² een chi-kwadraat verdeelde veranderlijke is met n vrijheidsgraden en Zi onafhankelijk standaard normaal verdeeld is.

PS: De somtekens gelden voor i=1 tot i=n.

Edit: EvilBro was me voor

.

Bert F

Mooi gevonden, Bedankt.

Hoe zou je nu bv E[x^3] kunnen berkenen? want dan kun je niet meer gebruik maken van die formule?

Bert F

Graag had ik nu de variantie berekend van deze verdeling, de berekening is al gegeven maar begrijp ze niet:

\(Var(x)=\sum^n_{i=1}Var[z^2_i]=\sum^n_{i=1}E[z_i^4]-E[z_i^2]^2=n(3-1)=2n\)

als nu

\(E[z_i^2]=n\)

dan zal toch

\(E[z_i^2]^2=n^2\)

? Waarom geldt dat al niet?

Bert F

voor het berekenen van de variantie van de chi kwadraat verdeling heb ik gevonden dat

\(E[zi^2]=1\)

dit is dus het geen we berkenende bij het gemiddelde, en voor dat je de sommatie over alle n doorvoerd.

Dus dat begrijp ik nu maar hoe kom ik aan de drie voor

\(E[zi^4]=3\)

iemand enig idee? Groeten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Gem chi kwadraat.

Gem chi kwadraat.

Re: Gem chi kwadraat.

Re: Gem chi kwadraat.

Re: Gem chi kwadraat.

Re: Gem chi kwadraat.

Re: Gem chi kwadraat.