Springen naar inhoud

Sneeuwploegproblemen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2007 - 17:43

Beste mensen,

Ik ben nu een tijdje bezig om onderstaande vraagstukken op te lossen (voor de lol), maar het tweede vraagstuk leidt steeds tot foute antwoorden. Misschien zit er ook wel een fout in het antwoord op het eerste vraagstuk. Wie weet raad?

VRAAG 1
Het begint met constante snelheid te sneeuwen. Om 11:00 rukt de sneeuwschuiver uit. De snelheid waarmee deze rijdt is omgekeerd evenredig met de dikte van de sneeuwlaag. Om 14:00 is 4 km weg sneeuwvrij gemaakt. Om 17:00 is nog eens 2 km sneeuwvrij gemaakt (dus 6 km in totaal). Hoe laat begon het te sneeuwen?

-------------------------------

VRAAG 2
Om 12:00 rukt een tweede schuiver uit die dezelfde route rijdt als de eerste. Hoe laat zal deze tweede schuiver de eerste hebben ingehaald?

-------------------------------

Ik vermeld niet al mijn stappen, want het is best een lange berekening (of ik doe iets helemaal verkeerd natuurlijk).

OPLOSSING VRAAG 1

(1) LaTeX

Met h de hoogte van de sneeuwlaag en k en A als constanten. Het scheiden van variabelen en integreren levert op

(2) LaTeX

waarin de beide integratieconstanten in K zijn opgenomen. We noemen het tijdstip waarop de schuiver vertrekt τ. Het vraagstuk levert dan 3 meetpunten op:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Hiermee kun je K en A berekenen. Uiteindelijk levert dat de volledige vergelijking op voor x:

(3) LaTeX

Door het derde meetpunt in te voeren blijft τ over als enige onbekende. Het oplossen voor τ levert een vijfdegraads vergelijking op vergt wat algebra stappen, maar uiteindelijk kom je uit op LaTeX . In minuten uitgedrukt begon het dus om 111 minuten vůůr 11:00 te sneeuwen.

Tot zover het eerste probleem. Hopelijk heb ik alles goed gedaan 8-) . Nu het tweede probleem.

-------------------------------

OPLOSSING VRAAG 2

Mijn (helaas enige) strategie is om te bepalen op welke plaats LaTeX de beide schuivers elkaar zullen ontmoeten en daar dan weer de ontmoetingstijd uit te bepalen.

Als eerste stap ga ik LaTeX bepalen door (3) om te werken. Dat levert op (na een beetje goochelen met logaritmes):

(4) LaTeX waarin LaTeX

Laten we het tijdstip waarop de positie LaTeX sneeuwvrij wordt gemaakt door de eerste schuiver aanduiden met LaTeX . De snelheid waarmee de tweede schuiver rijdt is dan (zie ook (1)):

(5) LaTeX

Als je dit "omdraait" zodat er een uitdrukking voor LaTeX ontstaat, krijg je een differentiaalvergelijking met de algemene gedaante

(6) LaTeX

en dit soort differentiaalvergelijkingen kunnen worden opgelost door gebruik te maken van een integratiefactor LaTeX gelijk aan (in dit specifieke geval)

(7) LaTeX

De algemene gedaante van oplossingen voor (6) luidt

(8) LaTeX

In dit specifieke geval levert dat op (bij mij, althans)

(9) LaTeX

waarbij gebruik gemaakt is van het gegeven LaTeX om de integratieconstante te bepalen. Dit resultaat wordt nu gesubstitueerd in de vergelijking voor de eerste sneeuwschuiver, dus (3), en daarna moeten we het geheel zien op te lossen voor de ontmoetingsplaats LaTeX .

Substitutie van (9) in (3) levert

(10) LaTeX

Als ik dit oplos voor LaTeX krijg ik

(11) LaTeX

Dit is dus de plaats waarop beide schuivers elkaar tegenkomen. Het is mogelijk om dit om te rekenen naar een numerieke waarde maar dat doe ik nog niet. Door (11) in te vullen in de vergelijking voor de tweede schuiver, dus (9), zou je het tijdstip moeten vinden waarop de schuivers elkaar ontmoeten. Na een hoop vereenvoudigingen krijg ik dan

(12) LaTeX

Ofwel de tweede schuiver zou 0,48 * 60 = 29 minuten nodig hebben om de eerste te ontmoeten.

Volgens mij klopt daar geen snars van :D . Ik heb 2 redenen om dat te denken:
  • Vergelijking (9) zou een oplossing moeten zijn van "de omgekeerde versie" van differentiaalvergelijking (5), maar is dat volgens mij niet.
  • Als ik de reistijd van de eerste schuiver invul in de vergelijking voor de eerste schuiver, dan moet daar dezelfde LaTeX uitkomen als wanneer ik de reistijd van de tweede schuiver invul in de vergelijking voor de tweede schuiver. Dit is volgens mij niet zo.
Kortom, ik denk dat ik zowel strategische fouten heb gemaakt als ook uitvoeringsfouten. Maar welke.....?!
Growing older is mandatory. Growing up is not.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZwerfEnVerwonder

    ZwerfEnVerwonder


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2007 - 06:22

Ik ben er inmiddels vrij zeker van dat de fout zit in het oplossen van de differentiaalvergelijking (5). Tips zijn nog steeds welkom :D .

Veranderd door ZwerfEnVerwonder, 16 augustus 2007 - 06:22

Growing older is mandatory. Growing up is not.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures