Springen naar inhoud

Orthogonalisatieproces van gram-schmidt


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2007 - 22:04

Ik heb hier een hele cursus theoretische lineaire algebra voor m'n neus. Nu probeer ik een oefening te maken maar ik zie het bos door de bomen niet meer (ofzo).
Ik krijg een Matrix A:
\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\
3 & 4 \end{array} \right)

Nu moet ik het Orthogonalisatieprocédé van Gram-Schmidt toepassen om de vectoren (1,3) en (2,4) om te zetten in de georthonormeerde vectoren (\frac {1}{\sqrt {10}} , \frac {3}{\sqrt {10}} ) en ( \frac {1}{\sqrt {10}} , - \frac {1}{\sqrt {10}} )

Ik zit nu al een eindje te zoeken hoe ze dit gedaan zouden hebben, maar zoals al gezegd; ik zie het echt niet.
Enige hulp zou welkom zijn!
Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2007 - 22:20

Nu weet ik niet hoe het komt, maar ik kan m'n eigen post niet meer wijzigen en die latex ziet er ook niet uit zoals het zou moeten... :D

#3

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 08:51

http://www.math.hmc....gramschmidt.pdf

Misschien helpt dit

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 09:15

Voor twee vectoren hou je de eerste (noem ik u) en zet je de tweede (v) om in (w):

LaTeX

Daarna deel je door de norm, dan vind ik (1,3) en (3,-1), beide gedeeld door sqrt(10).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 11:33

Voor twee vectoren hou je de eerste (noem ik u) en zet je de tweede (v) om in (w):

LaTeX



Daarna deel je door de norm, dan vind ik (1,3) en (3,-1), beide gedeeld door sqrt(10).


Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor. Heb ik het juist als ik zeg dat <u,v> gelijk is aan ?? u ?? * ?? v ?? * cos ? ?

En die ' u,u ' in de noemer van uw vergelijking staat in mijn handboek als ?? u ??˛ Betekent dit hetzelfde?

#6

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 11:46

Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor. Heb ik het juist als ik zeg dat <u,v> gelijk is aan ?? u ?? * ?? v ?? * cos ? ?

En die ' u,u ' in de noemer van uw vergelijking staat in mijn handboek als ?? u ??˛ Betekent dit hetzelfde?


Waar dat ? staat, moet telkens een verticale streep komen waar ik de norm van een vector mee bedoel. Na cos moet uiteraard een alpha-teken staan. (Maar om één of andere duistere reden kan ik nog steeds m'n berichten niet aanpassen en laat latex het opnieuw afweten...)

#7

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 11:58

Met welke methode ik ook probeer, ik kom telkens op het volgende uit;

(2,4) - 14/10 * (1,3) = (0,6 ; -0,2)

En dit is precies 1/5 van wat ik zou moeten uitkomen. Ik moet dus ergens een factor 5 over het hoofd gezien hebben. Maar waar?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 16:41

Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor.

Die u,u in m'n formule moest ook <u,u> zijn natuurlijk, dat is inderdaad de norm in het kwadraat.

w = v - <u,v>/<u,u> u

Met v = (2,4), u = (1,3), dan is:

<u,v> = (2,4).(1,3) = 1.2+4.3 = 14
<u,u> = ||u||˛ = (1,3)(1,3) = 1˛+3˛ = 10

Dus w = (2,4)-14/10(1,3) = (3/5,-1/5).
Nu nog normaliseren...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2007 - 17:43

Nu nog normaliseren...


Ah, dŕŕr zit m'n fout. Ik had genormaliseerd met de vector (1,3) maar je moet dus normaliseren met de zopas bekomen vector (0,6 ; -0.2). Zo krijg je inderdaad de juiste oplossing. Oef!

Bedankt om me op het juiste spoor te helpen!

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 augustus 2007 - 11:29

Ah, dat had ik niet door. Je bekomt natuurlijk een genormaliseerde vector (vector met norm 1) door een willekeurige vector door zijn eigen norm te delen :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2007 - 12:51

Ah, dat had ik niet door. Je bekomt natuurlijk een genormaliseerde vector (vector met norm 1) door een willekeurige vector door zijn eigen norm te delen :D


Inderdaad, is eigenlijk zo logisch als 1+1=2 maar als je natuurlijk al heel de dag op formules zit te staren durft de logica wel eens zoek te zijn. :D

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 augustus 2007 - 12:53

Voor twee vectoren is dit niet echt nodig. Op (a,b) staat (-b,a) altijd loodrecht.
Voor meer vectoren is Gramm-Schmidt handig, maar ook wat lastiger dan hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

ciderke

    ciderke


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2007 - 11:02

Voor twee vectoren is dit niet echt nodig. Op (a,b) staat (-b,a) altijd loodrecht.
Voor meer vectoren is Gramm-Schmidt handig, maar ook wat lastiger dan hier.


Nu je het zegt, daar had ik nog niet aan gedacht.
In dit geval kun je de vectoren voorstellen door een vector met aangrijpingspunt in de oorsprong en het uiteinde van de vector is dan (a,b) resp. (-b,a). Dan kom je inderdaad een loodrechte uit.
Maar als je nu 3 vectoren zou hebben... Hoe zit dat dan? Die 3de moet dan loodrecht staan op de eerste en loodrecht op de 2de vector. Dit is toch onmogelijk in een 2D-situatie? Dan moeten er toch minstens 2 vectoren evenwijdig zijn?
Of mag je dit niet zo letterlijk in het 2D-vlak bekijken?

#14


  • Gast

Geplaatst op 19 augustus 2007 - 11:26

ik denk niet dat het mogelijk is in 2 dimensies, want zou die derde vector dan geen lineaire combinatie zijn van de eerste twee?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2007 - 12:25

Dat klopt. In n dimensies, heb je maximaal n lineair onafhankelijke vectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures