Wetenschapsforum

Ik heb hier een hele cursus theoretische lineaire algebra voor m'n neus. Nu probeer ik een oefening te maken maar ik zie het bos door de bomen niet meer (ofzo).

Ik krijg een Matrix A:

\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\

3 & 4 \end{array} \right)

Nu moet ik het Orthogonalisatieprocédé van Gram-Schmidt toepassen om de vectoren (1,3) en (2,4) om te zetten in de georthonormeerde vectoren (\frac {1}{\sqrt {10}} , \frac {3}{\sqrt {10}} ) en ( \frac {1}{\sqrt {10}} , - \frac {1}{\sqrt {10}} )

Ik zit nu al een eindje te zoeken hoe ze dit gedaan zouden hebben, maar zoals al gezegd; ik zie het echt niet.

Enige hulp zou welkom zijn!

Alvast bedankt!

Nu weet ik niet hoe het komt, maar ik kan m'n eigen post niet meer wijzigen en die latex ziet er ook niet uit zoals het zou moeten...

http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials...gramschmidt.pdf

Misschien helpt dit

Voor twee vectoren hou je de eerste (noem ik u) en zet je de tweede (v) om in (w):
Daarna deel je door de norm, dan vind ik (1,3) en (3,-1), beide gedeeld door sqrt(10).

TD schreef:Voor twee vectoren hou je de eerste (noem ik u) en zet je de tweede (v) om in (w):

\(w = v - \frac{{\left\langle {u,v} \right\rangle }}{{u,u}}u\)

Daarna deel je door de norm, dan vind ik (1,3) en (3,-1), beide gedeeld door sqrt(10).

Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor. Heb ik het juist als ik zeg dat <u,v> gelijk is aan ?? u ?? * ?? v ?? * cos ? ?

En die ' u,u ' in de noemer van uw vergelijking staat in mijn handboek als ?? u ??² Betekent dit hetzelfde?

ciderke schreef:Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor. Heb ik het juist als ik zeg dat <u,v> gelijk is aan ?? u ?? * ?? v ?? * cos ? ?

En die ' u,u ' in de noemer van uw vergelijking staat in mijn handboek als ?? u ??² Betekent dit hetzelfde?

Waar dat ? staat, moet telkens een verticale streep komen waar ik de norm van een vector mee bedoel. Na cos moet uiteraard een alpha-teken staan. (Maar om één of andere duistere reden kan ik nog steeds m'n berichten niet aanpassen en laat latex het opnieuw afweten...)

Met welke methode ik ook probeer, ik kom telkens op het volgende uit;

(2,4) - 14/10 * (1,3) = (0,6 ; -0,2)

En dit is precies 1/5 van wat ik zou moeten uitkomen. Ik moet dus ergens een factor 5 over het hoofd gezien hebben. Maar waar?

Die (1,3) is inderdaad makkelijk te vinden door de oorspronkelijken te delen door sqrt(10), maar aan die (3,-1) kom ik nog niet hoor.

Die u,u in m'n formule moest ook <u,u> zijn natuurlijk, dat is inderdaad de norm in het kwadraat.

w = v - <u,v>/<u,u> u

Met v = (2,4), u = (1,3), dan is:

<u,v> = (2,4).(1,3) = 1.2+4.3 = 14

<u,u> = ||u||² = (1,3)(1,3) = 1²+3² = 10

Dus w = (2,4)-14/10(1,3) = (3/5,-1/5).

Nu nog normaliseren...

Nu nog normaliseren...

Ah, dààr zit m'n fout. Ik had genormaliseerd met de vector (1,3) maar je moet dus normaliseren met de zopas bekomen vector (0,6 ; -0.2). Zo krijg je inderdaad de juiste oplossing. Oef!

Bedankt om me op het juiste spoor te helpen!

Ah, dat had ik niet door. Je bekomt natuurlijk een genormaliseerde vector (vector met norm 1) door een willekeurige vector door zijn eigen norm te delen

Ah, dat had ik niet door. Je bekomt natuurlijk een genormaliseerde vector (vector met norm 1) door een willekeurige vector door zijn eigen norm te delen

Inderdaad, is eigenlijk zo logisch als 1+1=2 maar als je natuurlijk al heel de dag op formules zit te staren durft de logica wel eens zoek te zijn.

Voor twee vectoren is dit niet echt nodig. Op (a,b) staat (-b,a) altijd loodrecht.

Voor meer vectoren is Gramm-Schmidt handig, maar ook wat lastiger dan hier.

TD schreef:Voor twee vectoren is dit niet echt nodig. Op (a,b) staat (-b,a) altijd loodrecht.

Voor meer vectoren is Gramm-Schmidt handig, maar ook wat lastiger dan hier.

Nu je het zegt, daar had ik nog niet aan gedacht.

In dit geval kun je de vectoren voorstellen door een vector met aangrijpingspunt in de oorsprong en het uiteinde van de vector is dan (a,b) resp. (-b,a). Dan kom je inderdaad een loodrechte uit.

Maar als je nu 3 vectoren zou hebben... Hoe zit dat dan? Die 3de moet dan loodrecht staan op de eerste en loodrecht op de 2de vector. Dit is toch onmogelijk in een 2D-situatie? Dan moeten er toch minstens 2 vectoren evenwijdig zijn?

Of mag je dit niet zo letterlijk in het 2D-vlak bekijken?

ik denk niet dat het mogelijk is in 2 dimensies, want zou die derde vector dan geen lineaire combinatie zijn van de eerste twee?

Dat klopt. In n dimensies, heb je maximaal n lineair onafhankelijke vectoren.