\(\int ^{ + \infty} _ {- \infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \)
en wil die op volgende manier oplossen:1) eerst een substitutie doorvoeren waarbij:
\( x=tan(\theta)\)
en dus: \(dx=\frac{1}{cos^2(\theta)}d\theta\)
2) eenmaal dit uitgewerkt bekom ik \(\int\frac{1}{cos(\theta)}\)
en hiervoor gebruik ik de substitutie \(v=sin(\theta)\)
met bijhorend \(dv=cos(\theta)d\theta\)
3) dan bekom ik \(\int\frac{dv}{1-v^2}\)
welke ik oplos mbv breuksplitsing.4) tenslotte heb ik
\( ln(\sqrt{1-v^2})\)
in plaats van nu de volledige terugsubstitutie te doen probeer ik de grenzen mee te substitueren zodus:1) wat als
\(\lim_ {x\rightarrow \infty}\)
? wel dan \(\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}\)
2)de sin van \(\frac{\pi}{2}\)
zal 1 worden.3) zodat we invullen
\( ln(\sqrt{1-1^2})\)
is dus \(ln(0)=-\infty\)
4) als ik dit nu ook doe voor de ondergrens bekom ik analoog \(ln(0)=-\infty\)
Nu is mijn vraag mag ik dit zowel doen? waarom zit ik al dan niet juist of fout? Groeten.
