Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Moderator: physicalattraction

Reageer

Bericht 21-08-'07, 23:04

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Hallo iedereen,

Dit is mijn eerste post hier. Misschien gaat het werken met de Latexcode niet helemaal goed, maar ik probeer het toch.

Ik probeer het traagheidsmoment van een massieve bol uit te rekenen met deze algemene formule voor het uitrekenen van traagheidsmomenten:
\(\rho \int_V r^2 dV\)
Voor een bol vul ik dan uiteindelijk in:
\(\rho \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^4 sin\theta dr d\theta d\phi\)
met θ de hoek van pool tot pool en φ de hoek van de 'evenaar'.

Dit geeft als antwoord
\(\rho \frac{4}{5}\pi R^5\)
Het traagheidsmoment is uiteindelijk:
\(I = \frac{3}{5} M R^2\)
en dit is niet goed en moet zijn:
\(I = \frac{2}{5} M R^2\)
waar ga ik de fout in...
Omhoog

Bericht 21-08-'07, 23:15

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

[attachment=529:scan0012.jpg]
Omhoog

Bericht 22-08-'07, 15:17

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Hey aadkr,

Bedankt voor je uitgebreide uitwerking. Uiteindelijk heb ik gebruik gemaakt van deze site. Maar jij doet ongeveer hetzelfde.

Het is me in het kader van 'same equation => same solution' nu ook gelukt om het traagheidsmoment van een bolschil uit te rekenen. Thanx!
Omhoog

Bericht 23-08-'07, 16:43

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Merien schreef:Hey aadkr,

Bedankt voor je uitgebreide uitwerking. Uiteindelijk heb ik gebruik gemaakt van deze site. Maar jij doet ongeveer hetzelfde.

Het is me in het kader van 'same equation => same solution' nu ook gelukt om het traagheidsmoment van een bolschil uit te rekenen. Thanx!
:D 8-) hehe...blijk ik toch een foutje te hebben gemaakt...

Ik dacht daar waar ik een massieve bol opdeel in infinitesimaal dunne schijven (waarvan ik wel het traagheidsmoment weet), deel ik een bolschil op in infinitesimaal dunne ringen, waar ik immers ook het traagheidsmoment van weet...

Maar op een of ander manier werkt dat niet... :D

Is hier iemand die er nog eens zijn licht over zou willen werpen :D
Omhoog

Bericht 23-08-'07, 17:22

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Op de volgende site (forum) is de oefening opgelost misschien heb je daar iets aan (ze kennen daar wel geen latex). Ik denk dat je dat best eens op een kladbladje schrijft en dan goed bekijkt, anders is het misschien moeilijk te begrijpen.
Omhoog

Bericht 23-08-'07, 21:53

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Om te beginnen: Je moet die bolschil niet zien als een schil met straal R (binnenstraal) en dikte dr

Want dan zou je in de formule dm krijgen in plaats van m.

Stel de binnenstraal =R en de massa uitgesmeerd over het oppervlak 4.pi.R^2 is m
Omhoog

Bericht 23-08-'07, 22:00

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

[attachment=532:scan0013.jpg]
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 12:10

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

aadkr, het is lastig. Ik doe namelijk net iets anders dan jij. Ik probeer ringen van boven naar beneden te maken, vandaar dat ik hier cos gebruik ipv sin

Uitgaande van het bovenstaande plaatje. σ is hier de massa oppervlakte dichtheid en M staat voor de totale massa en ik heb de ongedefinieerde verticale as maar als z genomen...

Uitgaande van het traagheidsmoment van een ring, namelijk
\(MR^2\Rightarrow dI=x^2dM\)
kom ik uiteindelijk op deze integraal
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-R}^R (R^2-z^2)^\frac{3}{2} dz\)
en dit geeft uiteindelijk als antwoord
\(\frac{3}{4}\pi^2\sigma R^4=\frac{3}{16}\pi MR^2\)
en dat is dus niet goed.

Het rare is wanneer je de integraal zo opschrijft.
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^3cos^3(\theta) d\theta\)
dit geeft wel het goede antwoord, namelijk
\(\frac{8}{3}\pi\sigma R^4=\frac{2}{3}MR^2\)
Volgens mij zijn dit twee exact dezelfde beschrijvingen van het probleem. Ik heb me dus dood zitten staren op de eerste 'foute' oplossing. Ik vind het zo raar dat die twee niet dezelde uitkomst geven :D Voor een massieve bol werkt dit namelijk prima.

Iemand die weet waaraan het ligt?
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 14:40

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^3cos^3(\theta) d\theta\)
Jacobiaan vergeten zie ik nu het moet natuurlijk zijn
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^4cos^3(\theta) d\theta\)
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 14:56

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Jij rekent met dz, maar dat is niet goed.

Het moet zijn: dz /sin(alfa) met tan( 180 -alfa) =dz/dx
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 15:31

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

aadkr schreef:Jij rekent met dz, maar dat is niet goed.

Het moet zijn: dz /sin(alfa) met tan( 180 -alfa) =dz/dx
Sorry, maar ik snap je niet.

Bedenk dat we allebij hetzelfde doen, maar niet vanuit hetzelfde uitgangspunt. Jij werkt over de x-as met Rsin(θ) en ik werk over de z-as met Rcos(θ)

Waarom is dz niet goed als ik doe 2πx dz dan heb ik toch een infinitesimaal dunne ring met een straal x... en dan integreren over z, nadat we x hebben omgeschreven zodat er z in voor komt
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 17:47

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Je vervangt dz door:
\(dz=R.\cos\theta\)
En volgens mij kan dat niet
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 18:38

Merien

Gebruikersavatar
Berichten: 124

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

euh...volgens mij niet

ik neem
\(x^3 dz = R^3 \cos^3(\theta) R d\theta\)
Maar dit betreft de tweede 'goede' oplossing

Ik vind het zo gek dat de eerste integraal niet het goede antwoord geeft
\(I=2\pi\sigma\int_{-R}^R x^3 dz=2\pi\sigma\int_{-R}^R (R^2-z^2)^\frac{3}{2} dz\)
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 19:41

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Merien schreef:Dit is mijn eerste post hier.

Ik probeer het traagheidsmoment van een massieve bol uit te rekenen.

\(I_z= \rho \int_{ -R}^{R } \int_{ -\sqrt{R^2-x^2} }^{\sqrt{R^2-x^2} } \int_{- \sqrt[ ]{ R^2-x^2-y^2} }^{ \sqrt[ ]{ R^2-x^2-y^2} } (x^2+y^2) \ dz \ dy \ dx = \rho \int_{ 0}^{2 \pi } \int_{ 0}^{ \pi } \int_{ 0}^{R } R^4 \sin^3{\phi} \ dR \ d \phi \ d \theta=\frac{8}{15}\rho \pi R^5 \rightarrow \frac{2}{5}MR^2\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 24-08-'07, 20:31

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Traagheidsmoment (moment of inertia) van een bol?

Merien schreef:Ik dacht daar waar ik een massieve bol opdeel in infinitesimaal dunne schijven (waarvan ik wel het traagheidsmoment weet), deel ik een bolschil op in infinitesimaal dunne ringen, waar ik immers ook het traagheidsmoment van weet...

Is hier iemand die er nog eens zijn licht over zou willen werpen :D
\(\vec{r}(\phi,\theta)=R \sin{\phi} \cos{\theta} \ \mathbf{i} + R \sin{\phi} \sin{\theta} \ \mathbf{j}+ R \cos{\phi} \ \mathbf{k}\)
met
\( 0 \leq \phi \leq \pi \)
en
\( 0 \leq \theta \leq 2 \pi\)
Dit is je bolschil
\(I_z=\rho \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} R^2 \sin^2{\phi} \left| r_{\phi} \times r_{\theta} \right| \ d \phi \ d \theta =\rho \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} R^4 \sin^3{\phi} \ d \phi \ d \theta=\frac{8}{3}\rho \pi R^4 \rightarrow \frac{2}{3}MR^2\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Klassieke mechanica”