Springen naar inhoud

Repetentie bij decimale schrijfwijze van breuken


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 24 februari 2005 - 13:03

Waarom is er (op de duur) sprake van repetentie wanneer je breuken als decimale getallen gaat schrijven? Ik bedoel, ik snap dat het zo is. Maar hoe bewijs je dit nou wiskundig?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 24 februari 2005 - 16:27

Dat zit 'm in het feit dat de noemer een eindig getal is!
Denk aan de staartdeling en ga uit van 1/n met n is een natuurlijk getal ongelijk 0. (t/n=t*1/n)
Vb 1/3=0.[3], waarbij [...] de cijfers zijn die repeteren.
Vb 1/13=0.[076923]
Je moet natuurlijk wel de staartdeling letterlijk uitvoeren!
Je krijgt op een bepaald moment altijd weer dezelfde rest.
De bewering is dus dat n*[...]=99...9 een eindig aantal negens (bij 13 krijg je 6 negens.
Bij een willekeurige stap in de staartdeling moet een cijfer c maal n afgetrokken worden van een eindig getal kleiner dan 10*n, en omdat de rest altijd kleiner is dan n zal daarin herhaling moeten optreden waardoor het delingsalgoritme zich herhaalt.
Probeer eens 1/113.
Overigens geldt het omgekeerde van de stelling ook.
Dus elke repetente decimale breuk is te schrijven in de vorm t/n met t is een geheel getal en n is een natuurlijk getal ongelijk 0

#3

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2005 - 18:33

je kan het eenvoudig als volgt bekijken:

stel a/b loopt oneindig door, volledig willekeurig, dus bijv. 319513224632168732165175254432452343151435234158242131273421415

dan heb je in die twee getallen (a en b) oneindig veel informatie gestopt (want, ieder nieuwe decimaal is willekeurig)

en dat zou te mooi zijn uiteraard
???

#4

Rho

    Rho


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2005 - 09:19

Die redenering van rodeo:

dan heb je in die twee getallen (a en b) oneindig veel informatie gestopt (want, ieder nieuwe decimaal is willekeurig)

klopt natuurlijk niet. De vierkantswortel van 2 zou dan oneindig veel informatie bevatten, terwijl de vierkantswortel van 4 slechts een eindige hoeveelheid informatie zou bevatten.

Overigens is het goed om je te realiseren dat het al dan niet repeteren van een breuk van je talstelsel afhangt. In het tientallig stelsel is 1/7 een repeterende breuk en 1/5 een niet-repeterende breuk, terwijl dat in het zeventallig stelsel andersom is. Alleen getallen met een oneindige lange niet-repeterende staart (zoals wortel 2 en pi) zijn in alle talstelsels zodanig.

#5

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2005 - 09:24

Die redenering van rodeo:


dan heb je in die twee getallen (a en b) oneindig veel informatie gestopt (want, ieder nieuwe decimaal is willekeurig)

klopt natuurlijk niet. De vierkantswortel van 2 zou dan oneindig veel informatie bevatten, terwijl de vierkantswortel van 4 slechts een eindige hoeveelheid informatie zou bevatten.

Overigens is het goed om je te realiseren dat het al dan niet repeteren van een breuk van je talstelsel afhangt. In het tientallig stelsel is 1/7 een repeterende breuk en 1/5 een niet-repeterende breuk, terwijl dat in het zeventallig stelsel andersom is. Alleen getallen met een oneindige lange niet-repeterende staart (zoals wortel 2 en pi) zijn in alle talstelsels zodanig.

Interessant. Over dat getalstelsels een rol spelen had ik niet nagedacht. Zou het nu zo zijn dat 1/5 niet repeteert en 1/7 wel in het tientallig stelsel omdat 7 relatief priem is met 10 en 5 niet?

#6

Rho

    Rho


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2005 - 12:52

Zou het nu zo zijn dat 1/5 niet repeteert en 1/7 wel in het tientallig stelsel omdat 7 relatief priem is met 10 en 5 niet?

Ik weet niet wat je bedoelt met "relatief priem". Misschien dat 5 en 10 een gemeenschappelijke priemfactor hebben, en 7 en 10 niet. Daar heeft het natuurlijk mee te maken. De enige niet-repeterende breuken in het 10-tallig stelsel zijn 1/2 en 1/5, of "veelvouden" daarvan (zoals 1/4, 1/8, 1/10, 1/25. etc.)

#7

Donvanelli

    Donvanelli


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2005 - 20:42


Zou het nu zo zijn dat 1/5 niet repeteert en 1/7 wel in het tientallig stelsel omdat 7 relatief priem is met 10 en 5 niet?

Ik weet niet wat je bedoelt met "relatief priem". De enige niet-repeterende breuken in het 10-tallig stelsel zijn 1/2 en 1/5, of "veelvouden" daarvan (zoals 1/4, 1/8, 1/10, 1/25. etc.)


maar dat komt omdat 2 en 5 niet relatief priem zijn met 10

De relatie 'relatief priem' tussen twee getallen betekent dat de grootste gemeenschappelijke deler van die twee getallen 1 is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures