Springen naar inhoud

0,999... = 1 ?


  • Dit onderwerp is gesloten Dit onderwerp is gesloten

#1

Proximo

    Proximo


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 21:58

Ik denk niet dat dit topic al bestaat, heb wel even de voorbije pagina's gecheckt en de zoekfunctie gebruikt en niets gevonden, maar indien het al zou bestaan, excuses!

De vraag is vrij simpel:
Is 0,999... gelijk aan 1?
Ik heb er een tijd geleden wat van gehoord en wat over gelezen en het blijkt eerder een discussie van logica vs de menselijke rede te zijn.
Vele 'logische' bewijzen zijn gegeven die bevestigen dat 0,999... idd gelijk is aan 1:

1/3 = 0,333...
3.(1/3) = 3.(0,333...)
1 = 0,999...

Hierdoor is dus bewezen dat 1 wel degelijk gelijk is aan 0,999... maar ik vind het zeer moeilijk (ondanks het feit dat het bewezen is) om dat aan te nemen. Is 0,999... dan niet gewoon een benadering van 1? En hoe kan een benadering gelijk zijn aan het getal dat het probeert te benaderen? Waarschijnlijk is het de oneindigheid waar mijn geest (en ik denk elke menselijke geest) problemen mee heeft. Vanaf we ons iets bij oneindigheid proberen voor te stellen denken we al aan iets eindig. Ik zou mij 0,999... niet mogen voorstellen als een getal met een effectieve waarde aangezien het oneindig doorgaat. Maar als 1 idd gelijk is aan 0,999... maakt dat van 1 dan een begrensde oneindigheid?
Ik ben zeker geen wiskundige ofzo (dus niet al te moeilijk doen pi.gif ) maar oneindigheid in de wiskunde heeft mij altijd wel gentrigeerd. Wat denken jullie erover?
simplicity is something of infinite beauty

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:07

Is 0,999... dan niet gewoon een benadering van 1?

Nee. LaTeX en LaTeX zijn twee representaties van hetzelfde getal. Dat geldt ook voor 1 en LaTeX . Dit is volgens mij het makkelijkst in te zien door je te realiseren dat als de twee representaties een verschillend getal voorstellen, er ook een getal moet zijn dat het verschil is. Dit getal kan geen reeel getal zijn.

Dit onderwerp is volgens mij al een keer langsgekomen (al kan ik het ook niet vinden met de zoekfunctie).

P.S. Er zijn trouwens wel stelsels waarin 1 en LaTeX verschillende getallen zijn (maar dat is niet het geval met reeele getallen).

#3

qrnlk

    qrnlk


  • >5k berichten
  • 5079 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:11

http://www.wetenscha...?showtopic=5140
Any sufficiently analyzed magic is indistinguishable from science.
Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic.

There is no theory of protecting content other than keeping secrets Steve Jobs

#4

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:25

Nope, 0.999999999999999... is niet 1 ...

Het hangt er allemaal van af hoe je het voorstelt, zo is 0.7 in het binair talstelsel een oneindig repeterend getal...(moet je maar eens testen)
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#5

Proximo

    Proximo


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:31

Nee.  

http://www.wetenscha...?showtopic=5140


Mijn excuses dus, omdat het over 9,999... ging had ik het niet gevonden.
simplicity is something of infinite beauty

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:33

je kunt het ook zien doordat tussen twee verschillende rele getallen altijd minstens n ander (oneindig veel) reel getal ligt.

Ken je een reel getal dat groter is dan 0.999... en kleiner is dan 1?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:34

Iets oneindigs kleins bestaat wel...

Kijk maar naar een reeksontwikkeling

zoiets als x - 1/x + 1/x - 1/x+ ... , al zit je aan de vierendertigmiljardste term, die zal nog altijd een stukje na de komma opleveren, hoe klein dat stukje ook zal zijn...
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#8

qrnlk

    qrnlk


  • >5k berichten
  • 5079 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:42

Nope, 0.999999999999999... is niet 1 ...

In hetzelfde stelsel is het dat wel.

Zie Calculus, Volume 1 van Apostol (introductie, part 3 [tweede druk])

Het hangt er allemaal van af hoe je het voorstelt, zo is 0.7 in het binair talstelsel een oneindig repeterend getal...(moet je maar eens testen)

0.7 in binair? pi.gif een beetje ambigu?

Je bedoeld dus het getal dat je in het 10-talig (decimaal) stelsel als 0.7 kunt representeren, een oneindig repeterend representatie heeft in een 2-talig stelsel (binair).
Any sufficiently analyzed magic is indistinguishable from science.
Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic.

There is no theory of protecting content other than keeping secrets Steve Jobs

#9

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:45

Exactemundo...
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#10

Proximo

    Proximo


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:47

Iets oneindigs kleins bestaat wel...

Kijk maar naar een reeksontwikkeling

zoiets als x - 1/x + 1/x - 1/x+ ... , al zit je aan de vierendertigmiljardste term, die zal nog altijd een stukje na de komma opleveren, hoe klein dat stukje ook zal zijn...


Ja maar dan is het niet oneindig meer (want je laat het stoppen), het blijft gwn doorgaan; dus dan is het getal nooit 'af', right?
Als je bijv. inzoomt op een punt: elke keer als je denkt dat je bij het punt bent blijft het gwn 'kleiner worden', dus het is er wel, maar ik geraak er nooit...
Ik begrijp dat er geen enkel getal tussen 0,999... en 1 bestaat, maar aangezien 0,999... oneindig lang doorgaat kan het toch nooit 1 worden, het komt dus steeds dichter bij 1 maar bereikt het nooit...?
Ik geloof en ga akkoord dat 1 wel degelijk gelijk is aan 0,999... maar ik kan het maar moeilijk vatten.
simplicity is something of infinite beauty

#11

Keith

    Keith


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:49

Maar dan geef je aan 0.999... 2 getalwaarden... Dat is nooit goed in wiskunde toch? Wat als je nu echt daadwerkelijk

1-1/oo bedoeld (en niet afkomen met "dat is n min nul")
The exclamation that follows a worldchanging invention isn't"Eureka". It is "That's funny"

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:54

Maar is het verschil tussen 0,999... en 1 dan niet gwn oneindig klein en dus een benadering?

Maar er is geen reeel getal dat gelijk is aan 'oneindig klein'.

Ik weet dat wiskundig gezien de twee getallen gelijk zijn, maar wilt dat dan zeggen dat een oneindig klein verschil er niet toedoet?

Dit is de wereld op zijn kop. Je veronderstelt dat er een verschil is en dan ga je vervolgens proberen te verklaren waarom dat verschil genegeerd wordt. Je begin veronderstelling is onjuist: er is geen "oneindig klein" verschil.

Beantwoord de volgende vraag eens: Als er een verschil is tussen 1 en [tex]0.\underline{9}[/itex] , is dit verschil dan het kleinst mogelijke verschil dat er in de reeele getallen bestaat? (ofwel, is het verschil het kleinste reeele getal?)

Maar dan geef je aan 0.999... 2 getalwaarden...

Nee. Je gaat uit van het feit dat het twee getallen zijn. Dat is een foute veronderstelling. Het zijn twee representaties van 1 getal.

Wat als je nu echt daadwerkelijk 1-1/oo bedoeld (en niet afkomen met "dat is n min nul")

LaTeX is geen reeel getal. De operatie is niet gedefinieerd in de reeele getallen.

#13

qrnlk

    qrnlk


  • >5k berichten
  • 5079 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 22:57

Maar dan geef je aan 0.999... 2 getalwaarden... Dat is nooit goed in wiskunde toch? Wat als je nu echt daadwerkelijk

1-1/oo bedoeld (en niet afkomen met "dat is n min nul")

Er is een real getal (als wiskundig concept) die bepaalde eigenschappen heeft. We kunnen dit getal representeren met zowel 1.0 als met 0.999... (de representaties zijn decimaal)

We hebben het hier nu over een enkel getal en twee verschillende decimale representaties. Wiskundig is hier dus geen enkele probleem.
Any sufficiently analyzed magic is indistinguishable from science.
Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic.

There is no theory of protecting content other than keeping secrets Steve Jobs

#14

Proximo

    Proximo


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2007 - 23:19

Dit is de wereld op zijn kop. Je veronderstelt dat er een verschil is en dan ga je vervolgens proberen te verklaren waarom dat verschil genegeerd wordt. Je begin veronderstelling is onjuist: er is geen "oneindig klein" verschil.

Beantwoord de volgende vraag eens: Als er een verschil is tussen 1 en [tex]0.\underline{9}[/itex] , is dit verschil dan het kleinst mogelijke verschil dat er in de reeele getallen bestaat? (ofwel, is het verschil het kleinste reeele getal?)


Ik probeerde niets te verklaren, ik ging er vanuit dat er een verschil was (ook al is dat blijkbaar onmogelijk in de reele getallen, en dus wiskundig gezien de getallen gelijk zijn) en vroeg daarom of een oneindig klein verschil er toedoet (het was dus cht een vraag); maar het probleem is dat mijn vraag eigenlijk irrelevant is in een wiskundige benadering (gezien vanuit de rele getallen context dus).

Mabon, mbt uw vraag: is er dan een verschil dat buiten de reele getallen bestaat? (ik weet het echt niet, mijne wiskunde zit nogal ver)
simplicity is something of infinite beauty

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 augustus 2007 - 12:18

Het rele getal 1 is gelijk aan het rele getal 0,999... Dat volgt in feite rechtstreeks uit de definitie van een dergelijke decimale ontwikkeling. Deze topic is al aan bod gekomen, verder kan je op deze pagina de hele wiskunde erachter (met hoeveelheid van detail naar keuze) rustig nalezen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures