Waarom is
\(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\)
?Als je de grafiek van
\(\sqrt{x}\)
bekijkt lijkt dat logisch.Verborgen inhoud
Maar als je de Taylorreeksontwikkeling bijvoorbeeld doet rond x=1 bekom je
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3-\frac{5}{128}(x-1)^4+\frac{7}{256}(x-1)^5-\frac{21}{1024}(x-1)^6+\frac{33}{2048}(x-1)^7-\frac{429}{32768}(x-1)^8\)
Waaruit ik zou durven afleiden dat \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\)
onbepaald zou zijn (zoals bij de sinus- en cosinusfuncties)Een ander redenering doet hetzelfde vermoeden.
Zonder wiskundige achtergrond durf ik vermoeden dat dit bij het merendeel van de functies opgaat:
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{d\ f(x)}{dx}<0\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{d\ f(x)}{dx}=0\Rightarrow\ f(x)\ convergeert\)
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{d\ f(x)}{dx}>0\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Nu is \(\frac{d\ \sqrt{x}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Dus, als \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\)
dan is \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}}=0\)
wat volgens het bovenstaande zou betekenen dat \(\sqrt{x}\)
convergeert.Maar, als
\(\sqrt{x}\)
convergeertdan is
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\)
wat volgens het bovenstaande zou betekene dat \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\)
En die twee spreken elkaar dus tegen.Mijn vraag dus: waarom is
\(\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\)
???
).