Springen naar inhoud

Benaderen van punt in f(x,y)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kubbazoob

    kubbazoob


  • >25 berichten
  • 51 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 september 2007 - 19:04

Dag allemaal,

Deze week hebben we een onderwerp behandeld waarin we onderzochten hoe een functie f(x,y) zich gedroeg om en nabij een bepaald punt (x,y). Dit punt was in de meeste gevallen dan een punt waarvoor de functie niet gedefinieerd was. De functiedefinitie bijgewerkt kunnen worden, ofwel continu voortgezet kunnen worden door dit punt, zodat de nieuwe functie continue was door het punt (x,y). Een aanpak om te kijken of een functie continu voort te zetten was door een punt was door als het ware het punt van alle kanten te benaderen langs een willekeurige lijn door het punt. In de meeste gevallen werd hieruit wel duidelijk of de functie continu voortgezet kon worden door dit punt.

Nu stuitte ik op het volgende voorbeeld:

LaTeX

f(x,y) is niet gedefinieerd voor het punt (x,y) = (0, 0). Als ik nu (voor het gemak pak ik even de uitwerking van het voorbeeld) langs de willekeurige lijn (x,y) = (t, ct) en t->0 loop, krijg ik lim t->0 f(x,y) = 1. Je zou dus zeggen dat, in ieder geval als ik van de rechterkant naar het punt (0, 0) loop, de functie continu voort te zetten door de functiedefinitie uit te breiden met f(x,y):=1 | x = 0, y = 0. Maar nu blijkt dat als ik langs de parabool beschreven door (x, y) = (t^2, t) loop, de functie de waarde 0 heeft.

Mijn vraag, na dit lange verhaal, is nu: hoe kan het nou dat de manier waarop ik naar het punt loop, uitmaakt voor de uitkomst? In principe mag ik toch wel aannemen dat het toenaderen van het punt (0, 0) met behulp van de lijn (t, ct) voor t->0 gelijk is aan het lopen naar het punt via de parabool?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 september 2007 - 19:19

Dag allemaal,

Deze week hebben we een onderwerp behandeld waarin we onderzochten hoe een functie f(x,y) zich gedroeg om en nabij een bepaald punt (x,y). Dit punt was in de meeste gevallen dan een punt waarvoor de functie niet gedefinieerd was. De functiedefinitie bijgewerkt kunnen worden, ofwel continu voortgezet kunnen worden door dit punt, zodat de nieuwe functie continue was door het punt (x,y). Een aanpak om te kijken of een functie continu voort te zetten was door een punt was door als het ware het punt van alle kanten te benaderen langs een willekeurige lijn door het punt. In de meeste gevallen werd hieruit wel duidelijk of de functie continu voortgezet kon worden door dit punt.

Nu stuitte ik op het volgende voorbeeld:

LaTeX



f(x,y) is niet gedefinieerd voor het punt (x,y) = (0, 0). Als ik nu (voor het gemak pak ik even de uitwerking van het voorbeeld) langs de willekeurige lijn (x,y) = (t, ct) en t->0 loop, krijg ik lim t->0 f(x,y) = 1. Je zou dus zeggen dat, in ieder geval als ik van de rechterkant naar het punt (0, 0) loop, de functie continu voort te zetten door de functiedefinitie uit te breiden met f(x,y):=1 | x = 0, y = 0. Maar nu blijkt dat als ik langs de parabool beschreven door (x, y) = (t^2, t) loop, de functie de waarde 0 heeft.

Mijn vraag, na dit lange verhaal, is nu: hoe kan het nou dat de manier waarop ik naar het punt loop, uitmaakt voor de uitkomst? In principe mag ik toch wel aannemen dat het toenaderen van het punt (0, 0) met behulp van de lijn (t, ct) voor t->0 gelijk is aan het lopen naar het punt via de parabool?

In feite heb je je vraag al zelf beantwoordt.
"In principe ..." is hier uitgesloten.

#3

kubbazoob

    kubbazoob


  • >25 berichten
  • 51 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 september 2007 - 19:29

Gevoelsmatig zou ik zeggen dat ieder punt willekeurig dicht bij het punt (0, 0) benaderd kan worden met de hierboven beschreven lijn. Dit geldt dan toch ook voor het punt van de parabool wat dicht bij (0, 0) ligt?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 september 2007 - 20:31

Gevoelsmatig zou ik zeggen dat ieder punt willekeurig dicht bij het punt (0, 0) benaderd kan worden met de hierboven beschreven lijn. Dit geldt dan toch ook voor het punt van de parabool wat dicht bij (0, 0) ligt?

Er bestaat alleen maar een limiet als de nadering van het punt langs elke willekeurige lijn dezelfde uitkomst geeft.
In functies van ÚÚn variabele is dat beperkt tot twee mogelijkheden maar ook daar is eenzelfde uitkomst vereist.

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 september 2007 - 21:11

(voor de duidelijkheid: de linker- en rechterlimiet mˇeten gelijk zijn wil de limiet bestaan; zijn ze ongelijk, bestaat de limiet niet. Intu´tie laat je trouwens wel vaker in de steek pi.gif )
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures