Springen naar inhoud

Verzamelingenleer


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 september 2007 - 16:14

De opgave:

Bewijs dat een deelverzameling van een aftelbare verzameling aftelbaar is.

Hoe moet ik de bijectie definieren?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2007 - 16:25

voor elke element van S bestaat er een bijhorend getal bij de natuurlijke getallen. want S is aftelbaar
als je nu enkele elementen uit S neemt (deelverzameling) is er nog steeds een natuurlijk getal voor elke element en is gelijk welke deelverzameling van S dus aftelbaar.
geldt dit voor jou als bewijs?

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 september 2007 - 16:51

Dit antwoord lijkt me goed, maar ik vraag me af of mijn docent dit wel goedkeurt want ik weet niet of ze per sť een bijectie wil zien.
Quitters never win and winners never quit.

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2007 - 17:04

kan je zomaar een bijectie opstellen tussen een onbekende verzameling en de natuurlijke getallen?

je kan mijn uitleg ook nog aanvullen met wat namen, noem bijvoorbeeld het i-de element LaTeX met bijhorend natuurlijk getal LaTeX met i van a tot b voor S.

of zoiets

Veranderd door stoker, 18 september 2007 - 17:06


#5

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2007 - 21:10

hoi,

Leen de nummering van S.
Zbda is S de verzameling natuurlijke getallen.
Neem een u uit de deelverzameling U van S.
Beeld u af op het aantal elementen van U tussen 0 en u.
Dwz #( {0,1,...,u} door U) .
Dat lijkt me een bijectie.

#6

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 september 2007 - 21:16

Bewijs dat een deelverzameling van een aftelbare verzameling aftelbaar is.

Het meest triviale lijkt mij:
De verzameling bestaat bv uit k elementen.
Dan bestaat de deelverzameling uit hoogstens k elementen.

#7

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2007 - 22:18

Het meest triviale lijkt mij:
De verzameling bestaat bv uit k elementen.
Dan bestaat de deelverzameling uit hoogstens k elementen.

maar k kan oneindig zijn

#8

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2007 - 12:34

Sterker nog. k is oneindig. Anders is de verzameling eindig en niet aftelbaar. Het gaat er dus om het n-de element te vinden terwijl je niet zomaar alle elementen langs kunt gaan. Dat kan hier alleen omdat je verzameling aftelbaar is, dwz een-op-een met de natuurlijke getallen.

Veranderd door oscar2, 19 september 2007 - 12:36


#9

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2007 - 12:40

is het niet zo dat een eindige verzameling altijd aftelbaar is?

#10

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2007 - 12:56

Je hebt gelijk (althans volgens de wikipedia). Een verzameling V is al aftelbaar als er een surjectie f van N naar V is (d.w.z. alle elementen van V zitten in het beeld van f). Het mag ook een surjectie zijn. f hoeft geen bijectie te zijn. Als dat wel zo is is V wel oneindig. Dus is zelfs de verzameling {1} al aftelbaar.

Met deze definitie wordt het wel simpeler.
Neem V aftelbaar met surjectie f van N naar V.
Neem U een deelverzameling van V.
Neem een willekeurig element u0 van U.
Definieer nu g(v) = v als v in U zit en anders g(v)=u0.
Dan is g een surjectie van N naar U.
klaar.

of nog makkelijker
definieer h van V naar U als h(v)=v als v in U zit en anders u0.
dan is g(v) = h(f(v)) de gevraagde surjectie.

#11

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 september 2007 - 15:04

@oscar: bij het tweede bewijs zeg je h(f(v)) maar wat bedoel je hiermee?
Quitters never win and winners never quit.

#12

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2007 - 20:04

de samenstelling van h en f. maar er is niet zo veel verschil tussen de twee bewijzen hoor





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures