Raaklijnen en afgeleide

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 110

Raaklijnen en afgeleide

Ik heb twee functies:

f) 1+x^2

g) x-1-x^2

Een lineaire benadering van de raaklijn is: f(a)+f'(a)(x-a) in steunpunt a. De vraag is nu welke raaklijnen van grafiek f ook grafiek g raken... Kan iemand uitleggen op welke manier je te werk moet gaan?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Raaklijnen en afgeleide

Hint: in een raakpunt zijn zowel de functiewaarden en als de afgeleiden (richtingscoëfficiënt) van f en g gelijk.

Dus in het raakpunt (x,y) geldt:
\(y=f(x)=g(x)\wedge f'(x)=g'(x)\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 203

Re: Raaklijnen en afgeleide

- laat maar -
dus.

Berichten: 110

Re: Raaklijnen en afgeleide

De functiewaarden hoeven toch niet gelijk te zijn? Dat kan zelfs niet eens. Dat maakt het voor mij ook moeilijk...

Het gaat er dus om dat je grafiek f neemt, daar alle raaklijnen bij tekent en dan kijkt welke van die raaklijnen de grafiek van g ook nog een keer raken... (misschien is dat duidelijker)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Raaklijnen en afgeleide

Excuses, ik las te snel. De vraag is duidelijk. Een plaatje helpt wellicht al:

[graph=-3,3,-10,10] '1+pow(x,2)', '-pow(x,2)+x-1'[/graph]

Een en dezelfde raaklijn moet tegelijkertijd f (in punt a,f(a)) en g (in punt b,g(b)) raken. Dus:
\(y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)=g(b)+g'(b)(x-b)\)
In a raakt de raaklijn f, dus
\(y'(a)=f'(a)\)
en evenzo

In b raakt de raaklijn g, dus
\(y'(b)=g'(b)\)
.

Nu moeten a en b te berekenen zijn.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Raaklijnen en afgeleide

[graph=-3,3,-10,10] '1+pow(x,2)', '-pow(x,2)+x-1','(4*x*(1+sqrt(15))-sqrt(15))/8','(-4*x*(sqrt(15)-1)+sqrt(15))/8'[/graph]
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 110

Re: Raaklijnen en afgeleide

Ik zie zo snel even niet welke vergelijking(en) ik op moet lossen!! Zijn er maar 2 oplossingen? Met andere woorden: waar de rode raaklijn de grafiek van g raakt, daar precies boven raak de paarse raaklijn de grafiek van f?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Raaklijnen en afgeleide

Zowel voor a als voor b zijn twee oplossingen. Stel je hebt a=a1 of a2 en b=b1 of b2 dan zijn er de volgende twee raaklijnen:
\(y_1(x)=f(a_1)+f'(a_1)(x-a_1)=g(b_1)+g'(b_1)(x-b_1)\)
en
\(y_2(x)=f(a_2)+f'(a_2)(x-a_2)=g(b_2)+g'(b_2)(x-b_2)\)


Je moet dus f, f', g en g' expliciet uitschrijven, a invullen, vermenigvuldigen met (x-a), enz.

Oftewel gewoon mijn drie vergelijkingen expliciet invullen en uitschrijven.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 110

Re: Raaklijnen en afgeleide

Sorry, maar het is me nog steeds niet duidelijk... ik zie zoveel letters, dus waar moet ik naar oplossen? Naar a, b, x of waar naar toe? Ik heb Mathematica bij de hand, dus je mag het aan de hand van dat programma uitleggen...

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Raaklijnen en afgeleide

Ah, je hebt Mathematica: dat maakt het er makkelijker op.

Lukt het met dit notebook?

(rechtermuisknop, opslaan als...)

(Om de een of andere reden mag ik geen .nb-files uploaden :D )
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Raaklijnen en afgeleide

Verplaatst naar calculus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer