De bedoeling is voor een planeet-maan systeem de roche limiet af te leiden in het geval de maan met een gegeven hoeksnelheid
\(\omega\)
draait. (De roche limiet geeft een minimale afstand waarop een maan heel kan blijven onder de getijdenkrachten van de planeet.)
Letterlijk staat er in de opgave: First derive the general result for a given angular frequency
\(\omega\)
, then assume that the moon is in bound rotation with the planet, i.e. it rotates once every orbit.
Dus eerst voor een gegeven hoeksnelheid:
Ik heb uit het hoorcollege de getijdekracht(hoef ik dus nu niet af te leiden):
\(F_{get} = \frac{2 G m' M_p r_m}{a^3}\)
m' is een onbelangrijke testmassa, die valt zo toch overal weg.
Voor de zwaartekracht van de maan zelf geldt:
\(F_z = G \frac{m' M_m}{r_m^2}\)
En de centrifugaalkracht:
\(F_c = m' \frac{v^2}{r_m} = m' r_m \omega^2\)
Dan geldt:
\(F_z = F_{get} + F_c\)
voor het grensgeval
Hieruit volgt voor de Roche straal:
\(a = \left( \frac{2 G M_p r_m^3}{G M_m - \omega^2 r_m^3} \right)^{\frac{1}{3}}\)
Mijn vraag is eerst of dit wel klopt?
Nothing to see here, move along...