Als a|bc dan geldt a|b of c|b
\( \forall a,b,c \in \zz\)
Moet ik weerleggen dat de situatie dat a en b geen delers van bc zijn niet kan bestaan?Laatste berichten
-
15:02
Aardlek-schakelaar 31
-
15:00
Sommatie reeks 1
-
12:52
hoektoename 6
-
09:47
positie 3
-
08:50
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 33
-
21:13
draadloze koptelefoon 2
-
16:12
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 18
-
16:10
toevallige ontmoeting 7
-
03 mei
Straatklok loopt 5 minuten voor 18
-
03 mei
Berekening (stuur)motor
-
03 mei
Voynich manuscript ontcijferd? 2
-
02 mei
Electric(al) 2
-
02 mei
prijselasticiteit elektra 3
-
02 mei
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij 1
-
02 mei
Muon 2
-
01 mei
veldsterkte 6
-
01 mei
Schroefdraad berekening 9
-
30 apr
kwikkolom 7
-
29 apr
Twee neutronen 7
-
29 apr
Engels 2
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Getaltheorie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 4.246
Getaltheorie
Bewijs of weerleg:
Als a|bc dan geldt a|b of c|b
Als a|bc dan geldt a|b of c|b
Quitters never win and winners never quit.
Re: Getaltheorie
De bewering moet luiden
Als a|bc dan geldt a|b of a|c
In het door jou geformuleerde probleem is eenvoudig een tegenvoorbeeld te geven, bv
neem a = 5, b = 3 , c=10,
Als a|bc dan geldt a|b of a|c
\( \forall a,b,c \in \zz\)
In het door jou geformuleerde probleem is eenvoudig een tegenvoorbeeld te geven, bv
neem a = 5, b = 3 , c=10,
-
- Berichten: 4.246
Re: Getaltheorie
Is de bewering te bewijzen of moet ik een weerlegging geven van het feit dat als b en c geen delers zijn dat dat leidt naar een tegenspraak?
Quitters never win and winners never quit.
Re: Getaltheorie
De bewering is onjuist. Onjuiste beweringen kun je niet bewijzen; ze zijn immers onjuist.
Je kunt de bewering eenvoudig weerleggen door een voorbeeld te geven waaruit blijkt dat de stelling niet klopt.
Neem als voorbeeld a = 5, b = 3 , c=10.
dan is
volgens de bewering zou dan
óf
Dus de stelling is onjuist.
Je kunt de bewering eenvoudig weerleggen door een voorbeeld te geven waaruit blijkt dat de stelling niet klopt.
Neem als voorbeeld a = 5, b = 3 , c=10.
dan is
\(a|bc\)
(want 5|3x10)volgens de bewering zou dan
\(a|b\)
moeten zijn (dus in dit geval 5|3, en dat is onjuist)óf
\(c|b\)
, m.a.w. 10|3 en dat is ook onjuist.Dus de stelling is onjuist.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Getaltheorie
Moet het niet: Als a|bc dan geldt a|b of a|cdirkwb schreef:Bewijs of weerleg:
Als a|bc dan geldt a|b of c|b\( \forall a,b,c \in \zz\)Moet ik weerleggen dat de situatie dat a en b geen delers van bc zijn niet kan bestaan?
\( \forall a,b,c \in \zz\)
zijn?-
- Berichten: 4.246
Re: Getaltheorie
Sorry Peterpan ik had de stelling verkeerd overgeschreven 
(en jij had het dus verbeterd in de tweede post). De opgave moet dus zijn:
Bewijs of weerleg:
Als a|bc dan geldt a|b of a|c
Edit: inderdaad Safe!
(en jij had het dus verbeterd in de tweede post). De opgave moet dus zijn:Bewijs of weerleg:
Als a|bc dan geldt a|b of a|c
\( \forall a,b,c \in \zz\)
In dit geval gaat het voorbeeld dus niet op van a=5, b=3 en c=10.Edit: inderdaad Safe!
Quitters never win and winners never quit.
Re: Getaltheorie
De gecorrigeerde bewering geldt slechts als a een priemgetal is, anders niet. Dus stel a is priem.
Ik geef even een bewijs dat me zo te binnen schiet, maar ik denk dat het eenvoudiger kan, maar dan heb je vast een antwoord.
Stel a is geen deler van b. Dan moeten we aantonen dat a een deler is van c.
a deelt bc, dus is er een factor n zo dat na = bc.
Daar a priem is en geen deler is van b, geldt dat ggd(a,b) = 1, dwz dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben.
Dan zijn er gehele getallen x en y zo dat 1 = ax + by.
Vermenigvuldig nu beide zijden met c:
c = c(ax + by) ofwel c = cax + cby.
na = bc, dus
c = cax + nay = a(cx+ny)
Dus is a een deler van c en dat was te bewijzen.
Ik geef even een bewijs dat me zo te binnen schiet, maar ik denk dat het eenvoudiger kan, maar dan heb je vast een antwoord.
Stel a is geen deler van b. Dan moeten we aantonen dat a een deler is van c.
a deelt bc, dus is er een factor n zo dat na = bc.
Daar a priem is en geen deler is van b, geldt dat ggd(a,b) = 1, dwz dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben.
Dan zijn er gehele getallen x en y zo dat 1 = ax + by.
Vermenigvuldig nu beide zijden met c:
c = c(ax + by) ofwel c = cax + cby.
na = bc, dus
c = cax + nay = a(cx+ny)
Dus is a een deler van c en dat was te bewijzen.
Re: Getaltheorie
...
Dat 1 = ax+by volgt uit het bekende algoritme van Euclides om de ggd van a en b te berekenen.
Dat 1 = ax+by volgt uit het bekende algoritme van Euclides om de ggd van a en b te berekenen.
Re: Getaltheorie
Ik bewijs 1 =ax + by voor zekere x en y als ggd(a,b)=1.
Bekijk de verzameling
Dan zijn ook alle veelvouden van z elementen van die verzameling
Stel de verzameling bevat nog een element q dat geen veelvoud is van z, dan kunnen we er een veelvoud van z bij optellen of aftrekken zo dat
a en b zijn ten duidelijkste elementen van die verzameling, dus a en b zijn veelvouden van z.
a en b hadden geen gemeenschappelijke deler, dus moet z=1 zijn. Klaar
Bekijk de verzameling
\(\{ax+by | x,y\in\zz\}\)
Duidelijk is dat deze verzameling niet leeg is en dus (axioma) een kleinste positieve element bevat, zeg \(z = ar+bs\)
.Dan zijn ook alle veelvouden van z elementen van die verzameling
\(kz = akr+bks\)
.Stel de verzameling bevat nog een element q dat geen veelvoud is van z, dan kunnen we er een veelvoud van z bij optellen of aftrekken zo dat
\(0<q \pm mz<z\)
in strijd met de minimaliteit van z, daar \(q \pm mz\)
in die verzameling zit.a en b zijn ten duidelijkste elementen van die verzameling, dus a en b zijn veelvouden van z.
a en b hadden geen gemeenschappelijke deler, dus moet z=1 zijn. Klaar
