Springen naar inhoud

Getaltheorie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 september 2007 - 17:08

Bewijs of weerleg:

Als a|bc dan geldt a|b of c|b LaTeX

Moet ik weerleggen dat de situatie dat a en b geen delers van bc zijn niet kan bestaan?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 25 september 2007 - 21:28

De bewering moet luiden
Als a|bc dan geldt a|b of a|c LaTeX

In het door jou geformuleerde probleem is eenvoudig een tegenvoorbeeld te geven, bv
neem a = 5, b = 3 , c=10,

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 september 2007 - 21:32

Is de bewering te bewijzen of moet ik een weerlegging geven van het feit dat als b en c geen delers zijn dat dat leidt naar een tegenspraak?
Quitters never win and winners never quit.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 25 september 2007 - 21:40

De bewering is onjuist. Onjuiste beweringen kun je niet bewijzen; ze zijn immers onjuist.
Je kunt de bewering eenvoudig weerleggen door een voorbeeld te geven waaruit blijkt dat de stelling niet klopt.
Neem als voorbeeld a = 5, b = 3 , c=10.

dan is LaTeX (want 5|3x10)
volgens de bewering zou dan LaTeX moeten zijn (dus in dit geval 5|3, en dat is onjuist)
f LaTeX , m.a.w. 10|3 en dat is ook onjuist.
Dus de stelling is onjuist.

Veranderd door PeterPan, 25 september 2007 - 21:41


#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 september 2007 - 21:51

Bewijs of weerleg:

Als a|bc dan geldt a|b of c|b LaTeX



Moet ik weerleggen dat de situatie dat a en b geen delers van bc zijn niet kan bestaan?

Moet het niet: Als a|bc dan geldt a|b of a|c LaTeX zijn?

#6

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 september 2007 - 21:52

Sorry Peterpan ik had de stelling verkeerd overgeschreven :D (en jij had het dus verbeterd in de tweede post). De opgave moet dus zijn:

Bewijs of weerleg:

Als a|bc dan geldt a|b of a|c LaTeX

In dit geval gaat het voorbeeld dus niet op van a=5, b=3 en c=10.

Edit: inderdaad Safe!

Veranderd door dirkwb, 25 september 2007 - 21:52

Quitters never win and winners never quit.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2007 - 07:45

De gecorrigeerde bewering geldt slechts als a een priemgetal is, anders niet. Dus stel a is priem.

Ik geef even een bewijs dat me zo te binnen schiet, maar ik denk dat het eenvoudiger kan, maar dan heb je vast een antwoord.

Stel a is geen deler van b. Dan moeten we aantonen dat a een deler is van c.
a deelt bc, dus is er een factor n zo dat na = bc.
Daar a priem is en geen deler is van b, geldt dat ggd(a,b) = 1, dwz dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben.
Dan zijn er gehele getallen x en y zo dat 1 = ax + by.
Vermenigvuldig nu beide zijden met c:
c = c(ax + by) ofwel c = cax + cby.
na = bc, dus
c = cax + nay = a(cx+ny)
Dus is a een deler van c en dat was te bewijzen.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2007 - 07:49

...

Dat 1 = ax+by volgt uit het bekende algoritme van Euclides om de ggd van a en b te berekenen.

Veranderd door PeterPan, 26 september 2007 - 07:46


#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2007 - 07:58

Ik bewijs 1 =ax + by voor zekere x en y als ggd(a,b)=1.

Bekijk de verzameling LaTeX
Duidelijk is dat deze verzameling niet leeg is en dus (axioma) een kleinste positieve element bevat, zeg LaTeX .
Dan zijn ook alle veelvouden van z elementen van die verzameling LaTeX .
Stel de verzameling bevat nog een element q dat geen veelvoud is van z, dan kunnen we er een veelvoud van z bij optellen of aftrekken zo dat LaTeX in strijd met de minimaliteit van z, daar LaTeX in die verzameling zit.
a en b zijn ten duidelijkste elementen van die verzameling, dus a en b zijn veelvouden van z.
a en b hadden geen gemeenschappelijke deler, dus moet z=1 zijn. Klaar

Veranderd door PeterPan, 26 september 2007 - 08:02






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures