Lineaire afbeelding

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 26-09-'07, 16:31

Timen

Berichten: 8

Lineaire afbeelding

Hallo daar! Dit is mijn eerste keer op dit Forum, en ik heb gelijk een vraag:

Dit probleem moet ik oplossen, en ik kom er niet echt uit:

Van een lineaire afbeelding A:R3 -> R3 is gegeven:
\( A \left( \begin{array}{cc}1\\1\\ 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 \\1\\2 \end{array}\right) A \left( \begin{array}{cc}1\\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 \\-2\\2 \end{array}\right)A \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 \\6\\3 \end{array}\right)Bereken A \left( \begin{array}{cc} 1 \\1\\1 \end{array}\right) \)
alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 16:33

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire afbeelding

Verplaatst naar huiswerk, kies in het vervolg ook een betere titel aub.

Kan je (1,1,1) schrijven als een lineaire combinatie van de vectoren waarvan je het beeld wel kent?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 16:35

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Is goed, ik moet nog een beetje wegwijs worden hier. :-)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 17:06

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Ik zat trouwens te denken aan het berekenen van A met de informatie die je hebt, alleen weet ik niet hoe ik uit deze informatie kan halen hoeveel rijen A moet hebben, hij moet nx3 zijn, maar wat is n?
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 17:13

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire afbeelding

Kan je a,b,c vinden zodat:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = a\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + b\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) + c\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right) \)
Dan hebben we dus:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = A\left( {a\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + b\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) + c\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right)} \right)\)
En door de lineariteit van A is dat gelijk aan:
\(a \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + b \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) + c \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 17:44

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Voor:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = a\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + b\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) + c\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right) \)
Zit ik dan heel erg fout te denken als ik zeg dat er dit stelseltje uitkomt:
\(a + b = 1a + 2c = 1b + c = 1 \)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 18:16

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire afbeelding

Dat ziet er goed uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 18:34

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Dan komt daar dus uit:
\(a + b = 1a + 2c = 1\)
betekent dat
\( b = 2c \)
dus
\( b + c = 2c + c = 3c = 1 c = 1/3\)
en daaruit komt:
\( a = 1/3b = 2/3c = 1/3\)
Maar dan...

(hoe komt het trouwens dat sommige van die formules gecentreerd worden?)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 19:35

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Ok wacht even:

Als:
\(a \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) + b \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) + c \cdot A\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right)\)
Betekent dat dan dat dat hetzelfde is als:
\(a \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} } \right) + b \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} } \right) + c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array} } \right)\)
Waardoor je dit krijgt:
\( \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1/3 \\ 2/3 \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ -4/3 \\ 4/3 \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} } \right)\)
Waar dus uitkomt
\( A\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} } \right)\)
Of zit ik dan helemaal in de mist?
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 19:58

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire afbeelding

Ik heb het niet nagerekend, maar de methode is zo juist.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 26-09-'07, 21:29

Timen

Berichten: 8

Re: Lineaire afbeelding

Mooi, nou dan ga ik ervan uit dat ik hem heb. :D

Ik dank u zeer!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”