Springen naar inhoud

Potentiaal met randvoorwaarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 september 2007 - 17:08

Ik heb in deze opgaven een geaarde bolvormige geleider met straal a en een concentrisch geplaatste bolschil met straal b (b>a) en oppervlakteladingsdichtheid LaTeX . Tussen de bollen en buiten de schil bevindt zich vacuum.

Ik moet de potentiaal LaTeX zowel buiten als tussen de bollen bepalen. Ik mag de volgende algemene oplossing van de vergelijking van laplace gebruiken:

LaTeX

met LaTeX de legendre polynomen.

Vraag:
Ik wil eerst weten of ik mag stellen, dat als r naar oneindig gaat, dat V naar nul gaat, ondanks dat V ook nul is tussen r=0 en r=a...
Nothing to see here, move along...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2007 - 12:06

Misschien helpt een plaatje?

Ik hoef verder nog even niets te weten, het is ook helemaal nog niet belangrijk om te begrijpen wat de rest allemaal betekent, ik wil alleen weten of de potentiaal naar nul gaat in het oneindige. Dit is namelijk een belangrijke randvoorwaarde, dus, iemand??

Ik heb zelf al aangenomen van wel, maar ik kom uiteindelijk een beetje vreemd uit en misschien ligt het hier aan...

Bijgevoegde afbeeldingen

  • concentrische_bollen.jpg

Veranderd door Jeroen, 29 september 2007 - 12:07

Nothing to see here, move along...

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2007 - 12:21

Voor zover ik weet mag je de potentiaal nul stellen op ieder willekeurig punt, daar het altijd om potentiaalverschillen gaat. Soms is het handiger rekenen met V=0 op oneindig, soms handiger ergens anders. Maar als jij een resultaat krijgt met V=0 op oneindig, en je hebt alles goed toegepast, met het antwoord goed zijn.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2007 - 12:23

Waar ik mee zit is dat ik dan mijn potentiaal nul heb op zowel r=a als r=infty.
Ik dacht dat dit misschien kan aangezien ik twee ruimtes heb waar ik mijn potentiaal moet bepalen.
klopt dat?
Nothing to see here, move along...

#5

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2007 - 22:56

Hoi Jeroen,

Inderdaad, je mag de potentiaal op iedere plek nul stellen. Dat komt door de A0 in je oplossing. Maar dat is inderdaad niet wat je bedoelt. Op oneindige afstand zal de potentiaal in ieder geval wel moeten convergeren. Bij voorbeeld omdat je de potentiaal ook kunt uitdrukken als 1/r, geconvolueerd met de ladingsverdeling (plus evt een constante). In jouw geval betekent dat je natuurlijk buiten de bol geen BL's kunt gebruiken. Verder zul je alles voldoende differentieerbaar aan moeten laten sluiten.

Succes. Oscar.

PS: Ik wist eigenlijk nog niet dat je de algemene oplossing op die manier kon uitdrukken. Dus naast 1/r (B0) zijn zijn er ook andere voor de hand liggende oplossingen zoals z/r (B1). Interessant.

#6

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 september 2007 - 09:13

Bedankt voor de bevestiging. Volgens het boek waren er trouwens nog meer oplossingen mogelijk voor de laplace vergelijking, deze gebruiken wij omdat die kan voldoen aan de randvoorwaarden.
Nothing to see here, move along...

#7

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 september 2007 - 10:54

Ok, nu een stapje verder, het vinden van de potentialen. Ik kom er zelf toch niet helemaal uit denk ik. Het is een heel verhaal, maar het gaat uiteindelijk om mijn vraag op het eind, maar daarvoor moet ik toch even laten zien wat ik tot zover gedaan heb. Dus hier is wat ik gedaan heb:

Eerst de algemene oplossingen voor de potentiaal binnen en buiten de bollen opgeschreven.
Binnen de bol zal B nul moeten zijn omdat anders die term op zal blazen als r naar nul gaat.
Buiten de bol zal A nul moeten zijn omdat anders die term niet naar nul gaat in het oneindige.
Dus:

(1) LaTeX
(2) LaTeX

Er geld een continuiteit in r=b dus LaTeX
Hieruit volgt een relatie tussen A en B:

(3) LaTeX

Ook geldt de randvoorwaarde:
LaTeX

Waaruit volgt:

(4) LaTeX

Nu stop ik (3) in (4):

(5) LaTeX

Ook gegeven is dat de polynomen orhtogonaal zijn:

(6) LaTeX

deze delta is LaTeX als L'=L en anders 0.

Nu vermenigvuldig ik (5) aan beide kanten met LaTeX en integreer van nul to pi. Dan houd ik over:

LaTeX

Deze bestaat alleen voor LaTeX voor alle andere P komt hier nul uit.
Nu krijg ik voor A:

(7) LaTeX (Want L=1)

Nu kan ik met (3) en (7), (1) en (2) invullen. Ook weet ik dat L alleen 1 kan zijn:

(8) LaTeX
(9) LaTeX

En nu heb ik dus een probleem want Vin is niet 0 op r :D a.

Ik weet niet waar ik de fout in ben gegaan, ik hoop dat het allemaal een beetje te volgen is en dat iemand me kan vertellen waar het fout gaat.

Kan het misschien zijn dat ik k nog moet bepalen met een of andere randvoorwaarde en dat die het verschil maakt?
Nothing to see here, move along...

#8

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 september 2007 - 13:14

Ik heb nog even een collega student kunnen bereiken (als ik msn toch niet had). Hij noemde dat hij een Cl nog gebruikt had en nu snap ik het ook weer.

Ik had dus:
LaTeX

Maar het moet zijn:
LaTeX

Ik mag die CL niet zomaar weggooien omdat r=0 buiten mijn randvoorwaarden ligt.
Nu kan ik dus gewoon met een soortgelijke procedure CL en BL omschrijven in AL en dan de boel oplossen.

Dit lost ook meteen een paar andere vragen op. Ik had bijvoorbeeld twee uitkomsten voor BL een door de randvoorwaarde Vin=0 op r=a en de andere voor Vin = Vout op r=b. Nu krijg ik dus netjes een uitdrukking voor CL door de eerste randvoorwaarde en een uitdrukking voor BL door de tweede.

Veranderd door Jeroen, 30 september 2007 - 13:17

Nothing to see here, move along...

#9

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 september 2007 - 16:13

Ziet er heel behoorlijk uit. Inderdaad heb je voor r tussen a en b noch constanten CL. Maar je hebt ook een nieuw stel randvoorwaarden. Immers: binnen de geleider is de potentiaal nul. Daarmee vindt je de CL. Toch?

#10

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2007 - 19:44

inderdaad ja pi.gif, die randvoorwaarde is dus: Vin=0 op r=a, daarmee kun je CL in Al schrijven. Toen ik die CL nog niet had gebruikte ik die randvoorwaarde niet eens wat ik dus al vreemd vond. Best een mooie opgave toch.

Veranderd door Jeroen, 02 oktober 2007 - 19:47

Nothing to see here, move along...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures