Verzamelingen punten

kotje

Men heeft op dit forum al het onderstaande aangeraakt, maar nog geen voldoening gevend antwoord gegeven meen ik.

De algemene definitie van een gesloten verzameling punten is als die verzameling (al) zijn grenspunten bevat anders is ze open. Het woordje al heb ik er zelf bij gezet.

[2,3] is gesloten, ]2,3[ is open,]2,3] is halfopen of halfgesloten? Men kan dit uitbreiden in het vlak(cirkel,open cirkel,halfopen cirkel?),in de ruimte....

Nu komt het: Men zegt mij dat een rechte,vlak,ruimte zowel open als gesloten is. Dat begrijp ik niet goed. Ik moet natuurlijk voorzichtig zijn want er zijn geen grenspunten. Een bewijs geeft men ook niet, men zegt gegeven definitie gesloten verzameling moet men aannemen dat een oneindige verzameling punten zowel open als gesloten is?

Wie geeft een verklaring die voldoet?

TD

Het is niet omdat de verzameling een oneindig aantal punten bevat, dat ze zowel open als gesloten is. Zowel het gesloten interval [0,1] als het open interval (0,1) bevatten een oneindig aantal punten. Voor meer uitleg en voorbeelden van verzamelingen die zowel open als gesloten zijn, zie Clopen set.

Rogier

kotje, hou even in de gaten dat open en gesloten elkaar niet uitsluiten! Het open-zijn en gesloten-zijn van een verzameling zijn twee onafhankelijke eigenschappen.

EvilBro

Het interval \(]a-\epsilon,a-\epsilon[\) heet de \(\epsilon\)-omgeving van a en wordt genoteerd als \(U_\epsilon(a)\).

Een punt \(a \in V\) met \(V \subset \rr\) heet een inwendig punt van V als er een \(\epsilon > 0\) bestaat zodat \(U_\epsilon(a) \subset V\)

Als elk punt in V een inwendig punt is van V dan heet V een open verzameling.

Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

\(\rr\) is een open verzameling, want voor elk punt in \(\rr\) is er een \(\epsilon\)-omgeving in \(\rr\). Het complement van \(\rr\) is de lege verzameling \(\emptyset\). \(\emptyset\) is dus gesloten.

\(\emptyset\) is echter ook een open verzameling, want elk punt in \(\emptyset\) (dat is dus geen enkel punt, want de verzameling is leeg) is een inwendig punt.

\(\emptyset\) is dus zowel open als gesloten. Hieruit volgt automatisch dat het complement van \(\emptyset\) dat ook is (zij het \(\rr\), \(\rr^2\), \(\rr^3\), enz.).

kotje

Het is niet omdat de verzameling een oneindig aantal punten bevat, dat ze zowel open als gesloten is. Zowel het gesloten interval [0,1] als het open interval (0,1) bevatten een oneindig aantal punten. Voor meer uitleg en voorbeelden van verzamelingen die zowel open als gesloten zijn, zie kotje, hou even in de gaten dat open en gesloten elkaar niet uitsluiten! Het open-zijn en gesloten-zijn van een verzameling zijn twee onafhankelijke eigenschappen.

Ik ben eerlijk tot voor deze topic meende ik juist het tegenovergestelde en ik denk dat de meeste mensen zo denken. Ik zoek trouwens in mijn geest naar redenen om mijn vooroordeel te verdedigen. Als men uitgaat van de definitie die altijd gegeven wordt voor een gesloten verzameling.

EvilBro schreef:

Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

Ik vind je bewijs een goed begin, om de zaak te trachten te verklaren.

Een tweetal opmerkingen: Ge bewijst niet dat R gesloten is en wat is het complement van [2,3]

TD

Een tweetal opmerkingen: Ge bewijst niet dat R gesloten is en wat is het complement van [2,3]

Toch wel? Namelijk door aan te tonen dat het complement open is.

Het complement van een verzameling X in Y, is Y\X dus Y zonder X.

EvilBro

Ge bewijst niet dat R gesloten is

Ik bewijs dat

\(\emptyset\)

open is. Dit is het complement van

\(\rr\)

dus

\(\rr\)

is gesloten.

en wat is het complement van [2,3]

\(\rr / [2,3]\)

is open, want elk punt in deze verzameling is een inwendig punt.

\(\rr / [2,3]\)

is NIET gesloten, want het complement is niet open. 2 en 3 zijn geen inwendige punten van [2,3].

edit: moet de slash zo of andersom?

kotje

Volgens mij moet slash anders staan.

Neem een deel van een vlak tussen 2 // rechten, neem nu de verzameling al de punten tussen rechten(rechten inbegrepen). Is de verzameling clopen? Misschien gesloten, ze is het complement van een open verzameling?

EvilBro

(rechten inbegrepen)

Punten op de rechten hebben geen epsilon-omgeving in de verzameling. De verzameling is dus niet open. Het complement van de verzameling is wel open, dus de verzameling is gesloten. De verzameling is niet clopen.

kotje

Punten op de rechten hebben geen epsilon-omgeving in de verzameling. De verzameling is dus niet open. Het complement van de verzameling is wel open, dus de verzameling is gesloten. De verzameling is niet clopen.

Wat doet ge met punten op oneindig in de strip, de strip heeft langs de zijkanten geen grens? Ik zie de strip met je manier van redeneren niet als close.Als ge zijdelings beweegt zult ge wel denken dat de strip open is.

EvilBro

Wat doet ge met punten op oneindig in de strip, de strip heeft langs de zijkanten geen grens?

'Op oneindig'?

Ik zie de strip met je manier van redeneren niet als close.

Er is geen punt in het complement van de strip dat niet een inwendig punt is. Als jij zo'n punt wel kan vinden hoor ik het graag. Het complement van de strip is dus open, waardoor de strip automatisch de eigenschap gesloten heeft.

Als ge zijdelings beweegt zult ge wel denken dat de strip open is.

Ik zie niet hoe dat relevant is. De eigenschap heeft niks te maken met 'zullen denken als je aan het bewegen bent'.

kotje

Gij beweert automatisch als het complement open is dan dan is de verzameling zelf gesloten. Dat komt over als een definitie en het is daar dat we niet akkoord gaan. Tot zover we zullen er niet van dood gaan.

EvilBro

Gij beweert automatisch als het complement open is dan dan is de verzameling zelf gesloten.

Dat is de definitie van een gesloten verzameling. Er zijn nog andere manieren om het te verwoorden (zie hier), maar die zijn equivalent in uitwerking.

Dat komt over als een definitie en het is daar dat we niet akkoord gaan.

Dan ben ik er benieuwd naar jouw definitie van een gesloten verzameling.

Rogier

Gij beweert automatisch als het complement open is dan dan is de verzameling zelf gesloten. Dat komt over als een definitie en het is daar dat we niet akkoord gaan. Tot zover we zullen er niet van dood gaan.

Misschien interpreteer ik jouw denkwijze verkeerd, maar bedenk dat:

"een verzameling is gesloten als zijn complement open is"

NIET hetzelfde is als:

"een verzameling is gesloten als hij niet open is"

(voor de duidelijkheid: de eerste uitspraak klopt, de tweede niet)

kotje

EvilBro schreef:

Dan ben ik er benieuwd naar jouw definitie van een gesloten verzameling.

Ik neem de definitie die ik in al de boeken, die ik tot nu toe gezien heb: een verzameling punten is gesloten als ze (al) haar grenspunten bevat. De linken die gij en TD geeft wijst erop dat deze definitie niet voldoende is. Wat moet men bv. doen met R en de ledige verzameling(geen grenspunten). Men past de definitie aan en komt tegen alle logica in met verzamelingen die zowel gesloten als open zijn. Dan komt er iemand met een vlakke strip en volgens die definitie moet die close zijn omdat het complement open is. Voor mij is dit al goed. Ik zou toch graag eens de visie willen horen van PeterPan,tenminste als hij één heeft.

Je begrijpt dat ik moeilijkheden heb met het volgende: R is open omdat kappa.gif gesloten is en R is gesloten omdat kappa.gif open is. Ik probeer pragmatisch te blijven.

Rogier schreef:

"een verzameling is gesloten als hij niet open is"

Als ze niet open is dan is ze gesloten dat is logisch, maar als haar complement open is dan is ze volgens een definitie gesloten. Dus er is wel een verschil(half open en zo niet meegerekend)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Verzamelingen punten

Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten

Re: Verzamelingen punten