Parametrisering en oppervlakte bepalen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Parametrisering en oppervlakte bepalen

Vind een parametrisering van het oppervlak
\(x^2-y^2=1\)
met
\(x>0\)
,
\(-1\leq y\leq 1\)
en
\(0\leq z\leq 1\)
en bereken hiermee de oppervlakte ervan.

Pff...ik heb altijd moeite met het inbeelden van een 3d-plot hiervan. x^2-y^2=1 is volgens mij een hyperbool, x>0 zorgt alleen voor het rechter deel ervan, waarbij x tussen 0 en sqrt(2) loopt.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0,1.42,-1,1,300,300,600,600,'sqrt(pow(x,2)-1)','-sqrt(pow(x,2)-1)')</script><!--graphend-->

Maar hoe moet ik hier de z inpassen? z loopt van 0 tot 1, maar wat doen x en y dan?

Ik heb werkelijk geen idee, en het lukt me dus ook niet een parametrisering te bedenken. Zodra ik die heb, zal het integreren (oppervlak) wel lukken.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

De oppervlakte van wát? De vergelijking x²-y² = 1 geeft inderdaad een hyperbool, maar dat is vlak. Mag z eender wat zijn? Dan krijg je een hyperbolische cilinder. In elk geval: een parametrisatie van een hyperbool, kan met de hyperbolische functies (immers: cosh²x-sinh²x = 1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

De oppervlakte van wát? De vergelijking x²-y² = 1 geeft inderdaad een hyperbool, maar dat is vlak.
Juist, dat was mijn probleem. Echter
Mag z eender wat zijn?
z ligt tussen 0 en 1, zoals ik schreef.
Dan krijg je een hyperbolische cilinder.
Is dat te zien als een "cilinder" met als grondvlak (en bovenvlak) mijn grafiek? Dus gewoon die hyperbool, en dan z tot 1 laten lopen, oftewel hoogte 1?
In elk geval: een parametrisatie van een hyperbool, kan met de hyperbolische functies (immers: cosh²x-sinh²x = 1).


Ik heb nog even lopen zoeken, en hier heb ik wel wat aan. Ik ga even aan het rekenen, voor zover bedankt TD :D
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

Okee, ik heb dus
\(x=\sinh{u}\)
\(y=\cosh{u}\)
\(z=v\)
oftewel een parametrisering phi:
\(\mathbf{\Phi}(u,v)=(\sinh{u},\cosh{u},v)\)
Nu bereken ik
\(\mathbf{T}_u=\frac{\partial\mathbf{\Phi}}{\partial u}=(\cosh{u},\sinh{u},0)\)
en
\(\mathbf{T}_v=\frac{\partial\mathbf{\Phi}}{\partial v}=(0,0,1)\)
Vervolgens
\(\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v=(\sinh{u},-\cosh{u})\)
dus
\(||\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v||=\sqrt{\sinh^2{u}+\cosh^2{u}}=\sqrt{\cosh{(2u)}}\)
.

Maar nu komt het... de oppervlakte hiervan is gedefinieerd als
\(A=\int\int_D||\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v||dudv\)
-->
\(A=\int\int\sqrt{\cosh{(2u)}}dudv\)
.

Maar ik heb nu dus de grenzen nodig van u en v.

v is logisch: z tussen 0 en 1, z=u, dus u tussen 0 en 1.

Maar u?

y ligt tussen -1 en 1, dus cosh(u) ook. Echter arccosh(-1)=i*pi en arccosh(1)=0, terwijl

x ligt tussen 1 en sqrt(2) dus sinh(u) ook; arcsinh(1)=0.88 en arcsinh(sqrt(2))=1.15

Dat wordt dan
\(i\pi\leq u\leq 0\)
ten
\(0.88\leq u\leq 1.15\)
, die twee sluiten elkaar uit (de i is sowieso moeilijk te interpreteren). Wie helpt? Of betekent dit simpelweg dat de gekozen parametrisering niet werkt, en ik een nieuwe moet zoeken?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

Phys schreef:Is dat te zien als een "cilinder" met als grondvlak (en bovenvlak) mijn grafiek? Dus gewoon die hyperbool, en dan z tot 1 laten lopen, oftewel hoogte 1?

Ik heb nog even lopen zoeken, en hier heb ik wel wat aan. Ik ga even aan het rekenen, voor zover bedankt TD :D
Juist, dat is wat ik bedoelde: zo krijg je dus een hyperbolische cilinder.

Over de grenzen; er geldt cosh²t-sinh²t = 1, dus x = cosh(t) en y = sinh(t), niet omgekeerd.

Ik weet niet of dat het oplost, ik ga nu m'n bed in. Eventueel kijk ik er morgen nog naar 8-)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

TD, je bent een held!

Gelukkig blijft de integrand hetzelfde, maar de grenzen kloppen nu:

y geeft
\(-0.88\leq u\leq 0.88\)
x geeft
\(0\leq u\leq 0.88\)
Dus de laatste blijft over. Tja, nog een probleem is dat ik de integraal niet kan berekenen. Met Mathematica erbij krijg ik een elliptische integraal, wat met grenzen invullen ong. 1.1 oplevert. Op de een of andere manier zou ik deze opgave (met de hand) moeten kunnen oplossen, anders staat-ie niet in mijn boek :D
\(A=\int_0^1\int_0^{\arcsinh{1}}\sqrt{\cosh{(2u)}}dudv=\int_0^{\arcsinh{1}}\sqrt{\cosh{(2u)}}du=???\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

Bij mijn Calculus boek staan er ook een aantal integralen in die niet zo met de hand gedaan kan worden.

Ik kom bij deze opgave, met drie verschillende parametrisering nog steeds niet op een "mooie" integraal uit.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

Ik vind ook niet direct een eenvoudige manier om die integraal te evalueren, zonder "speciale functies".

Ben je zeker dat het de bedoeling is dat het zonder (speciale functies dan wel wiskundige software) kan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Parametrisering en oppervlakte bepalen

100% zeker misschien niet (in de strikt wiskundige betekenis ervan :D ), maar eigenlijk wel. Ik ben nog nooit een opgave tegengekomen die niet met de hand gedaan kan worden, of die speciale functies vereist. Het boek zegt namelijk zelf vanuit een bepaalde basis te vertrekken (namelijk standaard 1-variabelen-calculus) en bouwt de rest daarop voort. "Speciale functies" (zoals elliptische integralen) zijn niet in het boek zelf behandeld, dus kunnen ook niet vereist zijn voor een opgave. Anyway, bedankt voor jullie hulp, zolang jullie geen fout zien vind ik het al lang best. Ik zal het nog eens navragen.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer