Springen naar inhoud

Parametrisering en oppervlakte bepalen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 19:21

Vind een parametrisering van het oppervlak LaTeX met LaTeX , LaTeX en LaTeX en bereken hiermee de oppervlakte ervan.

Pff...ik heb altijd moeite met het inbeelden van een 3d-plot hiervan. x^2-y^2=1 is volgens mij een hyperbool, x>0 zorgt alleen voor het rechter deel ervan, waarbij x tussen 0 en sqrt(2) loopt.


Maar hoe moet ik hier de z inpassen? z loopt van 0 tot 1, maar wat doen x en y dan?
Ik heb werkelijk geen idee, en het lukt me dus ook niet een parametrisering te bedenken. Zodra ik die heb, zal het integreren (oppervlak) wel lukken.

Veranderd door Phys, 15 juni 2008 - 15:02

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 21:09

De oppervlakte van wŠt? De vergelijking x≤-y≤ = 1 geeft inderdaad een hyperbool, maar dat is vlak. Mag z eender wat zijn? Dan krijg je een hyperbolische cilinder. In elk geval: een parametrisatie van een hyperbool, kan met de hyperbolische functies (immers: cosh≤x-sinh≤x = 1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 21:59

De oppervlakte van wŠt? De vergelijking x≤-y≤ = 1 geeft inderdaad een hyperbool, maar dat is vlak.

Juist, dat was mijn probleem. Echter

Mag z eender wat zijn?

z ligt tussen 0 en 1, zoals ik schreef.

Dan krijg je een hyperbolische cilinder.

Is dat te zien als een "cilinder" met als grondvlak (en bovenvlak) mijn grafiek? Dus gewoon die hyperbool, en dan z tot 1 laten lopen, oftewel hoogte 1?

In elk geval: een parametrisatie van een hyperbool, kan met de hyperbolische functies (immers: cosh≤x-sinh≤x = 1).


Ik heb nog even lopen zoeken, en hier heb ik wel wat aan. Ik ga even aan het rekenen, voor zover bedankt TD :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 22:28

Okee, ik heb dus
LaTeX
LaTeX
LaTeX
oftewel een parametrisering phi: LaTeX

Nu bereken ik LaTeX en LaTeX
Vervolgens LaTeX dus LaTeX .

Maar nu komt het... de oppervlakte hiervan is gedefinieerd als
LaTeX --> LaTeX .

Maar ik heb nu dus de grenzen nodig van u en v.
v is logisch: z tussen 0 en 1, z=u, dus u tussen 0 en 1.
Maar u?
y ligt tussen -1 en 1, dus cosh(u) ook. Echter arccosh(-1)=i*pi en arccosh(1)=0, terwijl
x ligt tussen 1 en sqrt(2) dus sinh(u) ook; arcsinh(1)=0.88 en arcsinh(sqrt(2))=1.15

Dat wordt dan LaTeX ten LaTeX , die twee sluiten elkaar uit (de i is sowieso moeilijk te interpreteren). Wie helpt? Of betekent dit simpelweg dat de gekozen parametrisering niet werkt, en ik een nieuwe moet zoeken?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 22:40

Is dat te zien als een "cilinder" met als grondvlak (en bovenvlak) mijn grafiek? Dus gewoon die hyperbool, en dan z tot 1 laten lopen, oftewel hoogte 1?
Ik heb nog even lopen zoeken, en hier heb ik wel wat aan. Ik ga even aan het rekenen, voor zover bedankt TD :D

Juist, dat is wat ik bedoelde: zo krijg je dus een hyperbolische cilinder.

Over de grenzen; er geldt cosh≤t-sinh≤t = 1, dus x = cosh(t) en y = sinh(t), niet omgekeerd.
Ik weet niet of dat het oplost, ik ga nu m'n bed in. Eventueel kijk ik er morgen nog naar 8-)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 september 2007 - 22:55

TD, je bent een held!
Gelukkig blijft de integrand hetzelfde, maar de grenzen kloppen nu:

y geeft LaTeX
x geeft LaTeX

Dus de laatste blijft over. Tja, nog een probleem is dat ik de integraal niet kan berekenen. Met Mathematica erbij krijg ik een elliptische integraal, wat met grenzen invullen ong. 1.1 oplevert. Op de een of andere manier zou ik deze opgave (met de hand) moeten kunnen oplossen, anders staat-ie niet in mijn boek :D

LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2007 - 16:26

Bij mijn Calculus boek staan er ook een aantal integralen in die niet zo met de hand gedaan kan worden.
Ik kom bij deze opgave, met drie verschillende parametrisering nog steeds niet op een "mooie" integraal uit.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2007 - 20:20

Ik vind ook niet direct een eenvoudige manier om die integraal te evalueren, zonder "speciale functies".
Ben je zeker dat het de bedoeling is dat het zonder (speciale functies dan wel wiskundige software) kan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2007 - 21:20

100% zeker misschien niet (in de strikt wiskundige betekenis ervan :D), maar eigenlijk wel. Ik ben nog nooit een opgave tegengekomen die niet met de hand gedaan kan worden, of die speciale functies vereist. Het boek zegt namelijk zelf vanuit een bepaalde basis te vertrekken (namelijk standaard 1-variabelen-calculus) en bouwt de rest daarop voort. "Speciale functies" (zoals elliptische integralen) zijn niet in het boek zelf behandeld, dus kunnen ook niet vereist zijn voor een opgave. Anyway, bedankt voor jullie hulp, zolang jullie geen fout zien vind ik het al lang best. Ik zal het nog eens navragen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures