Okee, ik heb dus
\(x=\sinh{u}\)
\(y=\cosh{u}\)
\(z=v\)
oftewel een parametrisering phi:
\(\mathbf{\Phi}(u,v)=(\sinh{u},\cosh{u},v)\)
Nu bereken ik
\(\mathbf{T}_u=\frac{\partial\mathbf{\Phi}}{\partial u}=(\cosh{u},\sinh{u},0)\)
en
\(\mathbf{T}_v=\frac{\partial\mathbf{\Phi}}{\partial v}=(0,0,1)\)
Vervolgens
\(\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v=(\sinh{u},-\cosh{u})\)
dus
\(||\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v||=\sqrt{\sinh^2{u}+\cosh^2{u}}=\sqrt{\cosh{(2u)}}\)
.
Maar nu komt het... de oppervlakte hiervan is gedefinieerd als
\(A=\int\int_D||\mathbf{T}_u\times\mathbf{T}_v||dudv\)
-->
\(A=\int\int\sqrt{\cosh{(2u)}}dudv\)
.
Maar ik heb nu dus de grenzen nodig van u en v.
v is logisch: z tussen 0 en 1, z=u, dus u tussen 0 en 1.
Maar u?
y ligt tussen -1 en 1, dus cosh(u) ook. Echter arccosh(-1)=i*pi en arccosh(1)=0, terwijl
x ligt tussen 1 en sqrt(2) dus sinh(u) ook; arcsinh(1)=0.88 en arcsinh(sqrt(2))=1.15
Dat wordt dan
\(i\pi\leq u\leq 0\)
ten
\(0.88\leq u\leq 1.15\)
, die twee sluiten elkaar uit (de i is sowieso moeilijk te interpreteren). Wie helpt? Of betekent dit simpelweg dat de gekozen parametrisering niet werkt, en ik een nieuwe moet zoeken?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -