Moderators: ArcherBarry , Fuzzwood
Berichten: 503
Hoe bewijs je dit met het Levi Civita symbool?
\( \overrightarrow{\nabla} X ( \overrightarrow{a} X \overrightarrow{b} ) = ( \overrightarrow{b} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{a} - ( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{a} ) + \overrightarrow{a} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{b} )= \partial_i \epsilon_{ijk} ( \overrightarrow{a} X \overrightarrow {b} ) = \partial_i \epsilon_{ijk} \epsilon_{jmn} A_m B_n= \partial_i \epsilon_{jki} \epsilon_{jmn} A_m B_n= ( \delta_{km} \delta_{in} - \delta_{kn} \delta_{im} ) \partial_i ( A_m B_n )= \delta_{km} \delta_{in} \partial_i ( A_m B_n ) - \delta_{kn} \delta_{im} \partial_i ( A_m B_n )= \delta_{km} \delta_{in} \partial_i ( A_m) B_n + \delta_{km} \delta_{in} A_m \partial_i ( B_n ) - \delta_{kn} \delta_{im} \partial_i ( A_m) B_n - \delta_{kn} \delta_{im} A_m \partial_i ( B_n )\)
en dan?
De X staat voor het vectorieel product
Wat doe ik nu fout en hoe ga ik verder?
Waarschijnlijk is er iets fout met de indices.
Hartelijk Dank
Berichten: 271
Hoi,
Het begin gaat al iets anders
\( ( \overrightarrow{\nabla} \times ( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} ) )_i= \epsilon_{ijk} \partial_j ( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow {b} )_k= \epsilon_{ijk} \epsilon_{kmn} \partial_j a_m b_n\)
Gebruik verder onder andere
\( \delta_{km} \delta_{in} \partial_i ( A_m) B_n = \partial_n ( A_k) B_n \)
Dan moet je een eind komen.
Berichten: 7.556
[een "latex-advies": het uitproduct kan met \times
\(\times\)
en vectoren kunnen met \vec{v}
\(\vec{v},\)
]
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 503
\( ( \overrightarrow{\nabla} \times ( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} ) )_i= \epsilon_{ijk} \partial_j ( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow {b} )_k= \epsilon_{ijk} \epsilon_{kmn} \partial_j ( a_m b_n )= \epsilon_{kij} \epsilon_{kmn} \partial_j ( a_m b_n )= ( \delta_{im} \delta_{jn} - \delta_{in} \delta_{jm} ) \partial_j ( a_m b_n )= \delta_{im} \delta_{jn} \partial_j ( a_m ) b_n + \delta_{im} \delta_{jn} a_m \partial_j ( b_n ) - \delta_{in} \delta_{jm} \partial_j ( a_m ) b_n - \delta_{in} \delta_{jm} a_m \partial_j ( b_n ) \)
dan
\(= \partial_n (a_i) b_n + a_m \partial_n (b_j) - \partial_m ( a_j ) b_n - a_m \partial_m b_i= ( \overrightarrow{b} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{b} ) - \overrightarrow{b} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{a} )- ( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{b}\)
ik heb het gevoel dat er toch nog steeds iets mis is met mijn indices.. pi.gif , vb bij:
\(a_m \partial_n (b_j) - \partial_m ( a_j ) b_n\)
Berichten: 271
Het is ook nog niet helemaal goed. Ik vermoed (maar ik weet het niet helemaal zeker) dat dat notatie impliceert dat je sommeert over j, k, m en n. De epsilons en deltas zorgen er voor dat drie van de vier sommaties weg kunt laten. Je houd dan een sommatie over n of m over. Maar niet allebei. In twee van de vier termen heb je dat wel.
Verder heb je nog de index i. Die heb je omdat je rekent aan de n-de component van de uitdrukking aan het begin. Aan het eind krijg je dan natuurlijk ook niet een hele vector maar weer de i-de component van je vector.
\(... = ( ( \overrightarrow{b} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{a} )_i+ ( \overrightarrow{a} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{b} ) )_i- ( \overrightarrow{b} ( \overrightarrow{\nabla} . \overrightarrow{a} ) )_i- ( ( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{\nabla} ) \overrightarrow{b} )_i\)
Nu jij weer.
Berichten: 503
\(= \delta_{im} \delta_{jn} \partial_j ( a_m ) b_n + \delta_{im} \delta_{jn} a_m \partial_j ( b_n ) - \delta_{in} \delta_{jm} \partial_j ( a_m ) b_n - \delta_{in} \delta_{jm} a_m \partial_j ( b_n )= \partial_n ( a_i ) b_n + a_i \partial_n ( b_n ) - \partial_m ( a_m ) b_i - a_m \partial_m ( b_i ) \)
Ik zie dat steeds i oveblijft, en dat er een scalair product is bij m en n
maar
\(\partial_n ( a_i ) b_n\)
op wat werkt die
\(\partial_n \)
in? op a_i, maar de operator heeft een scalair product met b_n
Berichten: 503
[quote='phoenixofflames' date='4 October 2007, 10:53' post='354285']
\(= \delta_{im} \delta_{jn} \partial_j ( a_m ) b_n + \delta_{im} \delta_{jn} a_m \partial_j ( b_n ) - \delta_{in} \delta_{jm} \partial_j ( a_m ) b_n - \delta_{in} \delta_{jm} a_m \partial_j ( b_n )= \partial_j ( a_i ) b_j + a_i \partial_j ( b_j ) - \partial_j ( a_j ) b_i - a_j \partial_j ( b_i ) \)
of is het zo?
hoe weet ik nu welke sommatie ik 'mag weglaten' bij de delta's?
want
\(\delta_{im} \delta_{jn} \partial_j ( a_m ) b_n= \partial_n (a_i) b_nen = \partial_j ( a_i ) b_j \)
of doet dat er niet toe?
