Springen naar inhoud

[raadsel] kansrekening


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 02 maart 2005 - 16:10

Ben zelf met een raadsel opgezadeld waar ik al enige tijd mijn hoofd over gebroken heb, maar nog steeds geen antwoord bij heb. Misschien dat iemand van jullie het antwoord kan vinden...
Ik zeg er wel bij; hij lijkt makkelijker dan hij is, dus juich niet te vroeg :shock:

Het gaat over het verdelen van een aantal knikkers over een bepaald aantal schalen. Eenvoudig voorbeeld:
3 schalen en 3 knikkers geeft de volgende mogelijkheden:
3 0 0
0 3 0
0 0 3
2 1 0
2 0 1
0 2 1
1 2 0
0 1 2
1 0 2
1 1 1

oftewel 10 mogelijkheden.
Maar hoeveel mogelijkheden zijn er nu bij n schalen en k knikkers ???

B.v.d

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2005 - 21:08

Volgens mijn handboek is dit aantal C(n+k-1,k)(=(n+k-1)!/(k!(n-1)!)
Voor 3 uit 3 geeft hij als antwoord dus 5!/(3!*2!)=10

#3


  • Gast

Geplaatst op 02 maart 2005 - 21:34

Hey bert,

bedankt voor je antwoord !
Maar heb je misschien ook nog verdere info of uitleg hierover ?
En uit welk handboek komt dit ?

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 maart 2005 - 22:34

Als je goed kijkt is dit in feite hetzelfde probleem als pas hier aan de orde kwam. De k knikkers kun je zien als k dobbelstenen die je gooit, en welke van de n bakjes waar ze in terecht komen kun je zien als het aantal ogen (1 t/m n) dat je per dobbelsteen gooit.

In dit antwoord staat uitgelegd hoe je aan de formule (n+k-1)C(k) = (n+k-1)C(n-1) komt.
(in de uitleg daar heb ik toevallig k en n net andersom genomen, dus daar gaat het om n dobbelstenen c.q. knikkers, die je over k bakjes verdeelt resp. k zijden hebben)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2005 - 22:46

Handbook of Mathematics van Bronstein en Semendyayev. Er staat echter geen afleiding bij. Het vakgebied waar je die moet zoeken is niet de kansrekening maar combinatoriek of discrete wiskunde, bijvoorbeeld hier:
http://www.ping.be/~...tm#Combinations

#6


  • Gast

Geplaatst op 03 maart 2005 - 10:40

Als je goed kijkt is dit in feite hetzelfde probleem als pas hier aan de orde kwam. De k knikkers kun je zien als k dobbelstenen die je gooit, en welke van de n bakjes waar ze in terecht komen kun je zien als het aantal ogen (1 t/m n) dat je per dobbelsteen gooit.

In dit antwoord staat uitgelegd hoe je aan de formule (n+k-1)C(k) = (n+k-1)C(n-1) komt.
(in de uitleg daar heb ik toevallig k en n net andersom genomen, dus daar gaat het om n dobbelstenen c.q. knikkers, die je over k bakjes verdeelt resp. k zijden hebben)


Dit is volgens mij toch niet geheel hetzelfde probleem Rogier...
Met de dobbelstenen heb je per dobbelsteen 6 mogelijkheden en kijk je dan hoeveel verschillende combinaties je hebt met 5 dobbelstenen.
Bij bovenstaand probleem heb je een bepaald aantal "ogen" n dat je moet "gooien" met k dobbelstenen. Dus nu is er geen beperking op het aantal knikkers PER schaal (tenminste als het kleiner is dan n), maar het totaal aantal knikker moet altijd hetzelfde zijn.
Hoewel ze veel op elkaar lijken, zijn ze volgens mij toch erg verschillend.
Ik hoop dat ik me een beetje duidelijk maak....

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2005 - 14:08

Dit is volgens mij toch niet geheel hetzelfde probleem Rogier...
Met de dobbelstenen heb je per dobbelsteen 6 mogelijkheden en kijk je dan hoeveel verschillende combinaties je hebt met 5 dobbelstenen.
Bij bovenstaand probleem heb je een bepaald aantal "ogen" n dat je moet "gooien" met k dobbelstenen. Dus nu is er geen beperking op het aantal knikkers PER schaal (tenminste als het kleiner is dan n), maar het totaal aantal knikker moet altijd hetzelfde zijn.
Hoewel ze veel op elkaar lijken, zijn ze volgens mij toch erg verschillend.

Nee sorry, het zijn echt dezelfde problemen :shock:

De schalen komen overeen met het verschillende aantal ogen dat je kunt gooien per dobbelsteen. Dat aantal (n) is dus 6, en slaat niet op het totaal aantal ogen wat je met al die dobbelstenen kunt gooien!

Je moet die schalen zien als de verschillende aantallen ogen die je met iedere dobbelsteen kunt gooien, daarom komt dat voor normale dobbelstenen (waar je 1 t/m 6 mee kunt gooien) overeen met 6 schalen (n=6). Je kunt vervolgens het gooien van een bepaald aantal ogen opvatten als het plaatsen van een knikker in een bepaalde schaal. In vergelijking met het yahtzee probleem heb je vijf knikkers(dobbelstenen) en zes schalen, genummerd van 1 t/m 6, en het gooien van een 4 met een dobbelsteen komt overeen met het plaatsen van een knikker in schaal nummer 4.

Net zoals er geen beperking is op het aantal knikkers per schaal, is er ook geen beperking op het aantal keren dat je een bepaald aantal ogen kunt gooien - nou ja, maximaal k natuurlijk, het aantal dobbelstenen/knikkers wat je hebt. Je zou met alle dobbelstenen een 4 kunnen gooien, wat overeenkomt met alle knikkers in schaal nr 4 leggen, maar je kunt ook met geen enkele dobbelsteen een 4 gooien wat overeenkomt met dat schaal nr 4 leeg blijft.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8


  • Gast

Geplaatst op 03 maart 2005 - 15:45

OK ik heb het licht gezien.... bedankt voor jullie hulp Rogier en Bert !

#9

K. Jansen

    K. Jansen


  • >250 berichten
  • 510 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 maart 2005 - 12:54

Ik heb ook een vraagje over een kansberekening bij dobbelstenen.

Als je met 3 dobbelstenen gooit, hoe groot is de kans dat het totaal aantal ogen van de dobbelsteen 12 is. Het antwoord en uitwerking aub zo eenvoudig mogelijk :shock: .

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 maart 2005 - 13:27

Om in totaal 12 te kunnen gooien moeten de eerste twee dobbelstenen minstens 6 en hoogstens 11 zijn. De kans hierop kun je het makkelijkste uitrekenen door één min de kans dat de eerste twee 12 of minder dan 6 zijn te nemen (want dat zijn minder mogelijkheden). De kans dat je met twee dobbelstenen 2 t/m 5 of 12 gooit is (1+2+3+4+1)/36 = 11/36, dus de kans dat je 6 t/m 11 gooit is 1-11/36 = 25/36.
Vervolgens moet je met de derde dobbelsteen nog precies dat ene aantal ogen gooien waarmee je het totaal op 12 krijgt, dus wordt de kans nog eens 1/6 keer zo groot.

Antwoord is dus 25/36 x 1/6 = 25/216.

Ik weet eigenlijk niet of je dit 'slim' kunt uitrekenen naarmate het aantal dobbelstenen toeneemt, zonder dat het telwerk ook toeneemt. Bijvoorbeeld op de vraag hoe groot de kans is dat je met 10 dobbelstenen in totaal 37 ogen gooit, zou ik geen kort antwoord weten :shock:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures