Springen naar inhoud

Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Joran

    Joran


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2007 - 12:57

Toon aan: Als I een interval is in R dat niet naar boven en niet naar onder begrensd is, dan is I=R.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2007 - 14:06

Als I niet R is is er een x uit R die niet in I zit.
Omdat I niet naar onderen begrensd is is er een a<x in I.
Omdat I niet naar boven begrensd is is er ook een b>x in I.
Omdat I een interval is moeten nu alle getallen tussen a en b in I zitten.
Dus x moet ook in I zitten. En dat is een tegenspraak.

#3

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 07:30

Toon aan: Als I een interval is in R dat niet naar boven en niet naar onder begrensd is, dan is I=R.

Lijkt me niet waar.
Bijvoorbeeld 2<r<3 is noch van onderen noch van boven begrensd.

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 07:54

Lijkt me niet waar.
Bijvoorbeeld 2<r<3 is noch van onderen noch van boven begrensd.

Toch wel, begrensd zijn is iets anders dan een minimum of maximum hebben.

(ken je de termen minorant en majorant?)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 15:55

begrensd zijn is iets anders dan een minimum of maximum hebben. (ken je de termen minorant en majorant?)

Ja maar mogelijk heb ik het nooit goed begrepen. Graag een toelichting.
Graag aan de hand van een concreet voorbeeld. Wellicht heeft Joran er ook iets aan.

Veranderd door thermo1945, 05 oktober 2007 - 15:58


#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 18:26

(In plaats van de termen minorant en majorant bedoelde ik eigenlijk infimum en supremum, die zijn nuttiger)

Uitleg:


Als een verzameling een grootste element heeft, noemen we dat het maximum van de verzameling.

Verder noemen we een verzameling A van boven begrensd als er een getal a bestaat zodat x :D a voor alle x :D A (let op: a hoeft zelf niet in A te zitten).
Zo'n getal a heet dan een bovengrens (of met een duur woord: majorant) voor A. Als A zo'n bovengrens heeft, heeft hij er meteen oneindig veel, want ieder getal groter dan a is automatisch ook een bovengrens.
De kleinste van alle bovengrenzen noemen we het supremum van A, notatie: sup A.
Als A een maximum heeft, dan sup A = max A.

Voorbeeld: A = (0,1) (dus alle x :? :D met 0<x<1)

Dan is a=3 een bovengrens voor zowel A, net als a=1 en a=37.
Er is ook een kleinste bovengrens: sup A=1.
A heeft geen maximum, want er is geen element in A dat groter is dan alle andere elementen in A.

Idem voor de andere kant: van onderen begrensd, ondergrens (of ook wel: minorant), en de grootste ondergrens heet het infimum, notatie: inf A.
Als A een minimum heeft, dan inf A = min A.
In bovenstaand voorbeeld heeft A geen minimum, wel een infimum: inf A = 0.

Als je nu kijkt naar de verzameling B = [0,1] (dus alle x :D ;) met 0 :D x :D 1), dan heeft die wl een minimum en maximum, respectievelijk 0 en 1. En uiteraard inf B = 0 en sup B = 1.

Tenslotte, een verzameling heet kortweg "begrensd" als hij zowel van boven als van onderen begrensd is.

Veranderd door Rogier, 05 oktober 2007 - 19:23

In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 18:40

(...) als er een getal a bestaat zodat x<a voor alle x :D A (let op: a hoeft zelf niet in A te zitten).

Maar dat klopt toch niet? Als a wl in A zit, geldt niet meer: x<a voor alle x :D A
Immers, a zit in A en nu geldt niet: a<a (de voorwaarde is namelijk voor alle x :? A, dus k x=a).

Bijvoorbeeld jouw voorbeeld:

de verzameling B = [0,1] (dus alle x :D :D met 0 :D x :D 1), dan heeft die wl een minimum en maximum, respectievelijk 0 en 1. En uiteraard inf B = 0 en sup B = 1.

1 is het maximum van B, maar sup B kan niet 1 zijn: 1 zit in A en dus geldt niet x<1 voor alle x ;) A.


PS: ik heb niet veel chte wiskunde-vakken gehad, maar heb geleerd dat een verzameling wordt weergegeven met accolades B={0,1} en een interval met blokhaken B=[0,1].
Kan een interval (dus) een verzameling zijn?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 19:29

Maar dat klopt toch niet?

Foutje, bedankt. Dat moest [kleinergelijk]a zijn, aangepast.

PS: ik heb niet veel chte wiskunde-vakken gehad, maar heb geleerd dat een verzameling wordt weergegeven met accolades B={0,1} en een interval met blokhaken B=[0,1].
Kan een interval (dus) een verzameling zijn?

Met {0,1} wordt de verzameling van de twee getallen 0 en 1 bedoeld.
Met (0,1) wordt de verzameling van alle rele getallen tussen 0 en 1 (exclusief 0 en 1 zelf) bedoeld.
Met [0,1] wordt de verzameling van alle rele getallen tussen 0 en 1 (inclusief 0 en 1 zelf) bedoeld.

Een interval kan wel degelijk een verzameling zijn ja. Bijna alles kan een verzameling zijn, ik denk dat jij specifiek dacht aan de notatie voor een discrete (eindige of aftelbare) verzameling.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 19:42

Okee, bedankt; ik begrijp het nu.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2007 - 20:07

Kan een interval (dus) een verzameling zijn?

Sterker nog: een interval is een verzameling (van getallen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures