Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 39
Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Toon aan: Als I een interval is in R dat niet naar boven en niet naar onder begrensd is, dan is I=R.
-
- Berichten: 271
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Als I niet R is is er een x uit R die niet in I zit.
Omdat I niet naar onderen begrensd is is er een a<x in I.
Omdat I niet naar boven begrensd is is er ook een b>x in I.
Omdat I een interval is moeten nu alle getallen tussen a en b in I zitten.
Dus x moet ook in I zitten. En dat is een tegenspraak.
Omdat I niet naar onderen begrensd is is er een a<x in I.
Omdat I niet naar boven begrensd is is er ook een b>x in I.
Omdat I een interval is moeten nu alle getallen tussen a en b in I zitten.
Dus x moet ook in I zitten. En dat is een tegenspraak.
-
- Berichten: 3.112
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Lijkt me niet waar.Toon aan: Als I een interval is in R dat niet naar boven en niet naar onder begrensd is, dan is I=R.
Bijvoorbeeld 2<r<3 is noch van onderen noch van boven begrensd.
-
- Berichten: 5.679
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Toch wel, begrensd zijn is iets anders dan een minimum of maximum hebben.thermo1945 schreef:Lijkt me niet waar.
Bijvoorbeeld 2<r<3 is noch van onderen noch van boven begrensd.
(ken je de termen minorant en majorant?)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 3.112
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Ja maar mogelijk heb ik het nooit goed begrepen. Graag een toelichting.begrensd zijn is iets anders dan een minimum of maximum hebben. (ken je de termen minorant en majorant?)
Graag aan de hand van een concreet voorbeeld. Wellicht heeft Joran er ook iets aan.
-
- Berichten: 5.679
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
(In plaats van de termen minorant en majorant bedoelde ik eigenlijk infimum en supremum, die zijn nuttiger)
Uitleg:
Als een verzameling een grootste element heeft, noemen we dat het maximum van de verzameling.
Verder noemen we een verzameling A van boven begrensd als er een getal a bestaat zodat x
a voor alle x A (let op: a hoeft zelf niet in A te zitten).
Zo'n getal a heet dan een bovengrens (of met een duur woord: majorant) voor A. Als A zo'n bovengrens heeft, heeft hij er meteen oneindig veel, want ieder getal groter dan a is automatisch ook een bovengrens.
De kleinste van alle bovengrenzen noemen we het supremum van A, notatie: sup A.
Als A een maximum heeft, dan sup A = max A.
Voorbeeld: A = (0,1) (dus alle x
met 0<x<1)
Dan is a=3 een bovengrens voor zowel A, net als a=1 en a=37.
Er is ook een kleinste bovengrens: sup A=1.
A heeft geen maximum, want er is geen element in A dat groter is dan alle andere elementen in A.
Idem voor de andere kant: van onderen begrensd, ondergrens (of ook wel: minorant), en de grootste ondergrens heet het infimum, notatie: inf A.
Als A een minimum heeft, dan inf A = min A.
In bovenstaand voorbeeld heeft A geen minimum, wel een infimum: inf A = 0.
Als je nu kijkt naar de verzameling B = [0,1] (dus alle x 
met 0 x 1), dan heeft die wél een minimum en maximum, respectievelijk 0 en 1. En uiteraard inf B = 0 en sup B = 1.
Tenslotte, een verzameling heet kortweg "begrensd" als hij zowel van boven als van onderen begrensd is.
Uitleg:
Als een verzameling een grootste element heeft, noemen we dat het maximum van de verzameling.
Verder noemen we een verzameling A van boven begrensd als er een getal a bestaat zodat x
a voor alle x A (let op: a hoeft zelf niet in A te zitten).Zo'n getal a heet dan een bovengrens (of met een duur woord: majorant) voor A. Als A zo'n bovengrens heeft, heeft hij er meteen oneindig veel, want ieder getal groter dan a is automatisch ook een bovengrens.
De kleinste van alle bovengrenzen noemen we het supremum van A, notatie: sup A.
Als A een maximum heeft, dan sup A = max A.
Voorbeeld: A = (0,1) (dus alle x
met 0<x<1)Dan is a=3 een bovengrens voor zowel A, net als a=1 en a=37.
Er is ook een kleinste bovengrens: sup A=1.
A heeft geen maximum, want er is geen element in A dat groter is dan alle andere elementen in A.
Idem voor de andere kant: van onderen begrensd, ondergrens (of ook wel: minorant), en de grootste ondergrens heet het infimum, notatie: inf A.
Als A een minimum heeft, dan inf A = min A.
In bovenstaand voorbeeld heeft A geen minimum, wel een infimum: inf A = 0.
Als je nu kijkt naar de verzameling B = [0,1] (dus alle x
met 0 x 1), dan heeft die wél een minimum en maximum, respectievelijk 0 en 1. En uiteraard inf B = 0 en sup B = 1.Tenslotte, een verzameling heet kortweg "begrensd" als hij zowel van boven als van onderen begrensd is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.556
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Maar dat klopt toch niet? Als a wél in A zit, geldt niet meer: x<a voor alle x(...) als er een getal a bestaat zodat x<a voor alle x
AImmers, a zit in A en nu geldt niet: a<a (de voorwaarde is namelijk voor alle x
A, dus óók x=a).Bijvoorbeeld jouw voorbeeld:
1 is het maximum van B, maar sup B kan niet 1 zijn: 1 zit in A en dus geldt niet x<1 voor alle xde verzameling B = [0,1] (dus alle x
A.PS: ik heb niet veel échte wiskunde-vakken gehad, maar heb geleerd dat een verzameling wordt weergegeven met accolades B={0,1} en een interval met blokhaken B=[0,1].
Kan een interval (dus) een verzameling zijn?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 5.679
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Foutje, bedankt. Dat moest [kleinergelijk]a zijn, aangepast.Maar dat klopt toch niet?
Met {0,1} wordt de verzameling van de twee getallen 0 en 1 bedoeld.PS: ik heb niet veel échte wiskunde-vakken gehad, maar heb geleerd dat een verzameling wordt weergegeven met accolades B={0,1} en een interval met blokhaken B=[0,1].
Kan een interval (dus) een verzameling zijn?
Met (0,1) wordt de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1 (exclusief 0 en 1 zelf) bedoeld.
Met [0,1] wordt de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1 (inclusief 0 en 1 zelf) bedoeld.
Een interval kan wel degelijk een verzameling zijn ja. Bijna alles kan een verzameling zijn, ik denk dat jij specifiek dacht aan de notatie voor een discrete (eindige of aftelbare) verzameling.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.556
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Okee, bedankt; ik begrijp het nu.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 24.578
Re: Wiskundig probleempje waar ik niet aan uit kan
Sterker nog: een interval is een verzameling (van getallen).Kan een interval (dus) een verzameling zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
