Springen naar inhoud

Covariantie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 17:48

hello:)
Als X en Y twee stochastische variabelen zijn met bernoulli verdeling. Als Cov(X,Y)=0, geldt dan dat X en Y onafhankelijk zijn? kan iemand hier een bewijsje van geven?
Groetjes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 21:54

Voor 2 stochastische variabelen X en Y geldt:

LaTeX

Dus als de covariantie nul is dan zijn de twee stochasten per definitie onafhankelijk.
Quitters never win and winners never quit.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 22:41

Dat klopt niet hoor.

Neem bijvoorbeeld X = Uniform{-1,0,1} (dus X neemt met kans 1/3 de waarde -1, 0 of 1 aan) en Y=|X|, de absolute waarde van X. Nu is Y duidelijk afhankelijk van X, echter Cov(X,Y)=0.

Andersom wel: als X en Y onafhankelijk zijn, dan volgt daaruit dat E(X)E(Y) = E(XY), en dus Cov(X,Y)=0.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 22:43

Als ze onafhankelijk zijn dan is hun covariantie nul.
Andersom geldt niet. Maar in dit voorbeeld wel, ik weet alleen niet het bewijs..
zou iemand t willen geven? Ik heb tevergeefs geprobeerd.
wat ik eigenlijk moet aantonen: E[X|Y]=E[X] denk ik

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2007 - 23:18

Als het stochasten zijn met Bernoulli verdeling, dan weet je:

P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, en E(X)=p
P(Y=1)=q, P(Y=0)=1-q, en E(Y)=q

(voor zekere p,q)

En omdat Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, geldt E(XY)=pq

Nu te bewijzen dat P(X=a :? Y=b) = P(X=a)P(Y=b) voor iedere a,b :D {0,1}
Dat zijn vier gevallen:

(1) P(X=1 :D Y=1) = pq
(2) P(X=1 :D Y=0) = p(1-q)
(3) P(X=0 :D Y=1) = (1-p)q
(4) P(X=0 :? Y=0) = (1-p)(1-q)

(1) volgt uit E(XY) = pq, want E(XY) is namelijk precies 1 :D P(X=1 ;) Y=1)
(2) volgt uit (1) en P(X=1)=p, want P(X=1) = P(X=1 :D Y=1) + P(X=1 :D Y=0)
(3) volgt uit (1) en P(Y=1)=q, idem
(4) volgt uit (1) t/m (3) en het feit dat de vier kansen samen 1 moeten zijn
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2007 - 13:13

ik ben ťťn belangrijk detail vergeten namelijk dat q=p=1/2.
Mijn excuses

#7

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2007 - 18:09

ik zie nu al dat voor p=q=1/2 idd geldt dat
P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)
nogmaals bedankt

Veranderd door zijtjeszotjes, 06 oktober 2007 - 18:09


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2007 - 19:57

Verplaatst naar statistiek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures