Wetenschapsforum

hello:)

Als X en Y twee stochastische variabelen zijn met bernoulli verdeling. Als Cov(X,Y)=0, geldt dan dat X en Y onafhankelijk zijn? kan iemand hier een bewijsje van geven?

Groetjes

Voor 2 stochastische variabelen X en Y geldt:
Dus als de covariantie nul is dan zijn de twee stochasten per definitie onafhankelijk.

Dat klopt niet hoor.

Neem bijvoorbeeld X = Uniform{-1,0,1} (dus X neemt met kans 1/3 de waarde -1, 0 of 1 aan) en Y=|X|, de absolute waarde van X. Nu is Y duidelijk afhankelijk van X, echter Cov(X,Y)=0.

Andersom wel: als X en Y onafhankelijk zijn, dan volgt daaruit dat E(X)E(Y) = E(XY), en dus Cov(X,Y)=0.

Als ze onafhankelijk zijn dan is hun covariantie nul.

Andersom geldt niet. Maar in dit voorbeeld wel, ik weet alleen niet het bewijs..

zou iemand t willen geven? Ik heb tevergeefs geprobeerd.

wat ik eigenlijk moet aantonen: E[X|Y]=E[X] denk ik

Als het stochasten zijn met Bernoulli verdeling, dan weet je:

P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, en E(X)=p

P(Y=1)=q, P(Y=0)=1-q, en E(Y)=q

(voor zekere p,q)

En omdat Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, geldt E(XY)=pq

Nu te bewijzen dat P(X=a Y=b) = P(X=a)P(Y=b) voor iedere a,b {0,1}

Dat zijn vier gevallen:

(1) P(X=1 Y=1) = pq

(2) P(X=1 Y=0) = p(1-q)

(3) P(X=0 Y=1) = (1-p)q

(4) P(X=0 Y=0) = (1-p)(1-q)

(1) volgt uit E(XY) = pq, want E(XY) is namelijk precies 1 P(X=1 Y=1)

(2) volgt uit (1) en P(X=1)=p, want P(X=1) = P(X=1 Y=1) + P(X=1 Y=0)

(3) volgt uit (1) en P(Y=1)=q, idem

(4) volgt uit (1) t/m (3) en het feit dat de vier kansen samen 1 moeten zijn

ik ben één belangrijk detail vergeten namelijk dat q=p=1/2.

Mijn excuses

ik zie nu al dat voor p=q=1/2 idd geldt dat

P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)

nogmaals bedankt

Verplaatst naar statistiek.