Vectoren

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-10-'07, 21:37

Jeroen

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Vectoren

Het komt bij een opgave neer op het laten zien dat: (de linker p is een scalar, ik ben geen pijltje vergeten)
\(p (2 \cos{\theta} \hat{r} + \sin{\theta} \hat{\theta}) = 3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p}\)
de vector p staat in de z richting. de hoek theta is tussen de z-as en r. Er is ook nog een phi die misschien nodig is ergens, die staat iig tussen de x-as en de sin(theta) maal r. (Ik heb effe zo gouw geen plaatje getekent).

Ik heb het inproduct p in r geschreven als:
\(\vec{p} \cdot \hat{r} = |\hat{r}| |\vec{p}| \cos{\theta} = p \cos{\theta}\)
Nu heb ik dus:
\(3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p} = 3(p \cos{\theta})\hat{r} - \vec{p}\)


Ik weet niet of ik er zo uiteindelijk mee kom, maar ik wil iig weten, hoe krijg ik iets met
\(\hat{\theta}\)
??
Nothing to see here, move along...
Omhoog

Bericht 05-10-'07, 23:12

oscar2

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Vectoren

Ik neem aan dat p de lengte is van de bijbehorende vector (
\( \vec{p} = p \hat{z} \)
)

Als je een uitdrukking zoekt voor de eenheidsvector in de theta-richting definieer je eerst.
\(\hat{r} = \cos{\theta} \hat{x} + \sin{\theta} \hat{z} \)
Vervolgens geldt er per definitie:
\(\hat{\theta}= \frac{d \vec{r}}{d \theta} = \sin{\theta} \hat{x} + \cos{\theta} \hat{z} \)
Volgens mij vind je het nu wel.
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 13:04

Jeroen

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: Vectoren

Helaas, ik kom er nog niet uit.

Wat ik heb geprobeerd:

ik begin met:
\(3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p}\)
dan gebruik ik:
\(\vec{p} \cdot \hat{r} = |\hat{r}| |\vec{p}| \cos{\theta} = p \cos{\theta}\)
geeft:
\(3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{p} = 3(p \cos{\theta})\hat{r} - \vec{p}\)
en
\(\vec{p} = p \hat{z}\)
dus heb ik:
\(3(p \cos{\theta})\hat{r} - p \hat{z}\)
En dan kom ik niet verder, ik heb het plaatje er ook bijgedaan waar ik goed naar moest kijken.

Ik heb geprobeerd jouw r^ in te vullen maar dan zit ik weer met een x^. Als ik die wil omschrijven zit ik met de hoek phi en dan weet ik het helemaal niet meer.
Bijlagen
polar.jpg
polar.jpg (9.73 KiB) 165 keer bekeken
Nothing to see here, move along...
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 13:45

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: Vectoren

Volgens mij is de tekening misleidend of verkeerd.

Wanneer men de vector
\( \vec{p} \)
in sferische coordinaten beschrijft krijgt men het volgende:
\( \vec{p} = p1\hat{r} + p2\hat{\theta} + p3\hat{\phi} \)
Aangezien
\( \vec{p} \)
samenvalt met de z-as, heeft p dus als componenten: (p,0,0) (de waarde van
\( \phi \)
maakt niet uit, dus kiezen we deze 0.

Nu krijg je een vectoriele vergelijking die we in componentvergelijkingen opsplitsen:
\( 2p\cos{\theta} = 3p\cos{\theta} - p \)
\( p\sin{\theta} = 0 \)
Aangezien
\( \theta \)
0 is voor de vector
\( \vec{p} \)
, bewijst dit het gevraagde.

P.S: Normaal gezien tekent met de vector
\( \hat{r} \)
in de richting van
\( \vec{p} \)
.
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 13:56

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: Vectoren

Nvm, ik zag net in dat die tekening juist is getekend maar nog steeds misleidend is :D Het verandert mijn oplossing wel niet. Die is juist.

Je mag r niet zien als een vector. Dat scalair product dat daar trouwens bijstaat is trouwens maar een manier om te zeggen dat men de r-component van de vector p moet hebben.
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 16:51

Jeroen

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: Vectoren

Sorry, maar nu snap ik het even helemaal niet meer :D . Niet jouw schuld natuurlijk, maar ik denk dat je wat dingen veel sneller ziet dan ik.

Ik snap bijvoorbeeld niet waarom dit geldt:
\(\vec{p} = p1\hat{r} + p2\hat{\theta} + p3\hat{\phi}\)
Moeten er geen cosinussen enzo in zitten?



Je zegt ook dat p samenvalt met de z-as, dat zie ik, maar dat p dan gelijk moet zijn aan (1,0,0), dat snap ik niet. Waarom niet (0,0,1) van (x,y,z). En als het wel (1,0,0) is, is volgens jouw definitie van p, p gelijk aan
\(p1\hat{r}\)
. Dat snap ik ook niet.

Kortom ik begrijp er helemaal niets meer van. Misschien wat meer tussenstappen?
Nothing to see here, move along...
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 18:23

Jeroen

Gebruikersavatar
Berichten: 351

Re: Vectoren

Ik heb in een sheet van een college een afleiding van p gezien waaruit volgt:
\(\vec{p} = p \cos{\theta} \hat{r} - p \sin{\theta} \hat{\theta}\)
Hiermee komt het helemaal uit samen met het uitschrijven van
\(\vec{p} \cdot \hat{r} = p \cos{\theta}\)
.

Dus ik ben eruit.
Nothing to see here, move along...
Omhoog

Bericht 06-10-'07, 18:25

Akarai

Gebruikersavatar
Berichten: 140

Re: Vectoren

Ok, ik zal het proberen :D

Je kunt de vector
\( \vec{p} \)
voorstellen met cartesiaanse coordinaten
\( (p_x,p_y,p_z) \)
of in sferische coordinaten
\( (p_r,p_\phi,p_\theta) \)
In cartesiaanse coordinaten is de vector
\( \vec{p} \)
dus:
\( (0,0,p) \)
, want
\( \vec{p} \)
ligt volledig volgens de z-as.

De omzetting van cartesiaanse coordinaten naar sferische coordinaten gebeurt als volgt:
\( p_r = ||\vec{p}|| \)
\( p_\phi = \arctan(\frac{p_y}{p_x}) \)
\( p_\theta = \arccos(\frac{p_z}{p_r}) \)
Dus in dit geval wordt dit:
\( p_r = ||\vec{p}|| = p \)
\( p_\phi = \arctan(\frac{0}{0}) \)
Dit is onbepaald, dus
\( \phi \)
mag elke waarde aannemen van 0 tot 2
\(\pi\)
. We kiezen gemakkelijkheidshalve 0.
\( p_\theta = \arccos(\frac{p_z}{p_r}) = \arccos(\frac{p}{p}) = \arccos(1) = 0\)
De vector
\( \vec{p} \)
uitgedrukt in sferische coordinaten is dus: (p,0,0), of zoals je zelf al hebt gezegd:
\( \vec{p} = p\hat{r} \)
(in sferische coordinaten)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”