Lorentztransformatie grafisch weergeven

oscar2

Ik heb een mooie manier gevonden om de Lorentztransformatie grafisch weer te geven. Misschien is het bij velen van jullie al lang bekend. Maar ik wil het toch graag laten zien. In het onderstaande beweegt een systeem S' met constante snelheid t.o.v. het systeem S.

: lorentz.GIF (11.17 KiB) 1031 keer bekeken

Langs de assen staan de coordinaten (x en t) van S. De dikke rode lijn geeft de beweging weer van (de oorsprong van) S'. De dunne rode lijnen geven de gebeurtenissen weer met x'=+-1, x'=+-2, etc. De dunne blauwe lijnen geven de gebeurtenissen weer met ct'=0, ct'=+-1, etc. Die laatste lijnen horen dus bij gebeurtenissen die in S' gelijktijdig plaatsvinden. De blauwe lijnen kun je gebruiken om te proberen (on)gelijktijdigheid te begrijpen. Stel bij voorbeeld dat op ct'=0 twee flitslampjes afgaan in S'. Eén op x'=0. De ander op x'=1. Dan lees je eenvoudig af dat deze flitsen in S niet gelijktijdig plaatsvinden. De eerste vindt plaats op ct=0 (en x=0). De tweede ongeveer op ct=1.1 (en x=1.3).

Ook dilatatie kun je mooi zien. De paarse lijn geeft de eenheidslineaal van S' weer (met eindpunten x'=0 en 1) op t=0. Je ziet eenvoudig dat die lineaal voor S veel korter is dan voor S'. Je kunt de lineaal eenvoudig tekenen op ander tijdstippen. Steeds vind je dezelfde lengte. De gele lijn geeft de eenheidslineaal van S weer (met einpunten x=0 en 1) op ct'=1. Met de rode lijnen zie je eenvoudig dat deze lineaal in S' korter is dan in S. (overigens ben ik bang dat ik de figuur toch weer niet helemaal goed getekend heb want ik krijg niet steeds dezelfde factor).

Het idee heb ik hiervandaan: http://www.angelfire.com/ab3/mjramp/phys/rel7.html. Nu zou ik dit graag toepassen met een versnelde beweging. (zie: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=71838). Maar dat is nog niet zo envoudig. Op de genoemde site worden gelijktijdige momenten (in S') weergegeven met rechte lijn. Maar die lopen niet meer evenwijdig en snijden elkaar dus. Maar zou betekenen dat twee verschillende gebeurtenissen in S worden waargenomen als dezelfde gebeurtenis in S'. Dat lijkt me onwaarschijnlijk. Misschien dat de waarnemingshorizon er iets mee te maken heeft?

oscar2

Toch maar even een beter plaatje gemaakt met excel. En meteen maar bij twee verschillende snelheden. Verder hetzelfde als boven.

: lorentz2.GIF (13.37 KiB) 1010 keer bekeken

eendavid

Ook dilatatie kun je mooi zien. De paarse lijn geeft de eenheidslineaal van S' weer (met eindpunten x'=0 en 1) op t=0. Je ziet eenvoudig dat die lineaal voor S veel korter is dan voor S'. Je kunt de lineaal eenvoudig tekenen op ander tijdstippen. Steeds vind je dezelfde lengte. De gele lijn geeft de eenheidslineaal van S weer (met einpunten x=0 en 1) op ct'=1. Met de rode lijnen zie je eenvoudig dat deze lineaal in S' korter is dan in S. (overigens ben ik bang dat ik de figuur toch weer niet helemaal goed getekend heb want ik krijg niet steeds dezelfde factor).

Dat is een eenheidslineaal in S. Let hiermee op: je kan niet rechtlijnig projecteren, je moet hyperbolen gebruiken. Zie hiervoor bvb Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, Oxford, 1992.

oscar2

Waarom kan ik niet rechtlijnig projecteren? Dit is gewoon de Lorentztransformatie:

\(x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1+(\frac{v}{c})^2}}\)

\(t' = \frac{t - \frac{v}{c^2} x}{\sqrt{1+(\frac{v}{c})^2}}\)

Neem ik nu alle gebeurtenissen met een zekere waarde van x', dan vormen die in S de lijn:

\(x = x' \sqrt{1+(\frac{v}{c})^2}} + v t\)

Idem voor een vaste waarde van t'. Daar zie ik toch geen probleem in. Mijn eerste plaatje was fout getekend. Maar ik zie geen problemen in de berekening.

eendavid

Ik wel. Volgens jou denkt S' dat de meetlat van S langer is dan ze volgens S is. Terwijl men toch van lengtecontractie spreekt.

oscar2

Nee hoor. De gele lijn is de meetlat van S. Laat ik even het geval v =0,866c nemen. Op ct'=1 loopt die meetlat in S' (ongeveer) van x'=-0.8 tot x'=-0.3. Dat lees je af met de rode lijnen. Je kunt het exacter uitrekenen. S' meet dus een lengte van -0.3--0.8=0.5. Korter dus dan de lengte die S meet.

eendavid

S heeft een meetlat die zich op verschillende tijdstippen bevindt voor hem.

Ik heb het over de paarse lijn waarvoor je je eerste transformatie moet nemen (waarnemen in S')

Ik heb Inverno niet bij mij, maar het argument is alleszins analoog aan het volgende. Stel je wil x' meten.

We weten

\(x'^2-t'^2=x^2-t^2\)

. Als S' meet, doet hij dat op een constante t:

\(x'^2+c^{te}=x^2-t^2\)

De lijnen van constante x' vormen hyperbolen in het (x,t) vlak.

oscar2

Ik had niet gedacht dat we het hier zo lang oneens over zouden zijn. De paarse lijn is de meetlat van S' op t=0. De meetlat bestaat natuurlijk op ieder tijdstip. De begin- en eindpunten vormen een reeks events op de lijnen x'=0 en x'=1. S' meet dan ook op ieder tijdstip een lengte van 1. S meet de lengte van de maatlat op t=0. Voor S' vormen het begin en eindpunt dan geen gelijktijdige events. Voor S wel. Hij vindt het beginpunt op x=0 en het eindpunt op x=0.5 (ik ga nog steeds uit van het geval v=0.866c) en meet dus een lengte van 0.5-0 = 0.5. Dus S meet een kortere lengte voor de meetlat dan S' zelf.

Samengevat: Voor de meetlat van S (geel) vindt S' een kortere lengte (0.5) dan S (1)

en voor de meetlat van S' (paars) vindt S een kortere lengte (0.5) dan S' (1).

Nu jouw argument. Om te beginnen heb ik een "-" verkeerd gezet in de Lorentztransformatie. Het moet zijn:

\(x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

\(t' = \frac{t - \frac{v}{c^2} x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\)

Inderdaad geldt:

\((x')^2-(ct')^2 = (x)^2-(ct)^2 \)

Neem ik nu een vaste waarde voor t' dan vind ik in inderdaad een hyperbool voor de punten (x,t) maar ik vind wel voor iedere waarde van x' een andere hyperbool. Preciezer: als je een waarde voor x' en t' neemt liggen de punten (x,t) op een hyperbool. Die beschrijft waar de gebeurtenis kan liggen als je alle mogelijke Lorentztransformaties bekijkt. Ik bekijk maar één transformatie tegelijk maar dan wel een vaste waarde voor t' en alle mogelijke waardes van x'. Dat zijn de gebeurtenissen die voor S' gelijktijdig zijn (op tijdstip t'). Die vormen in het stelsel van S gewoon een rechte lijn.

eendavid

Ik vermoed dat je gelijk hebt. De hyperbolen zijn van belang om de schaal op de nieuwe assen te berekenen (die rechten x'=1,2,... steek jij er nu allicht handmatig in?) Ze zouden eventueel handig kunnen zijn bij versnellende stelsels.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Lorentztransformatie grafisch weergeven

Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven

Re: Lorentztransformatie grafisch weergeven