Springen naar inhoud

Lorentztrafo's en metrieken...


  • Log in om te kunnen reageren

#1

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2007 - 19:02

Ik heb nooit goed begrepen wat er nu toch bedoeld wordt met de opmerking dat de metriek ds^2 invariant is. Dankzij een opmerking van eenDavid begrijp ik nu de bedoeld wordt: Invariant onder Lorentztransformatie. Heel hartelijk dank daarvoor. Maar nu heb ik toch wel een paar vragen.

Eerst een beetje tekst. Met de metriek wordt bedoeld: LaTeX , of als het even kan: LaTeX . Daarbij zijn x en t coordinaten in een inert stelel S. Deze metriek is invariant onder Lorentztransformatie. Dwz heb je een ander intert stelsel S' met coordinaten x' en t'. Dan is: LaTeX .


In ieder geval kun je inderdaad vlot de Lorentztransformaties afleiden. Met een lineaire transformatie: LaTeX en LaTeX . Door de invariantie heb je: LaTeX , zodat: LaTeX , LaTeX en LaTeX . De oplossingen liggen op hyperbool: LaTeX en LaTeX . Neem tenslotte tanh(u) = -v/c dan: LaTeX en LaTeX , dan vind je de Lorentztrafo: LaTeX , LaTeX


Maar nu mijn vraag: Hoe weet ik nu dat invariantie van de metriek overeenkomt met het constant zijn van de lichtsnelheid? Ik zie wel dat invariantie van de metriek een constante lichtsnelheid impliceert. Immers geldt voor iedere lichtstraal: LaTeX . De invariantie impliceert dat dat in ieder inert stelsel geldt. Ten slotte volgt dan weer dat in ieder stelsels de lichtsnelheid gelijk is aan c. Maar hoe zit het met het omgekeerde? Hoe leidt je uit een constante lichtsnelheid af dat de metriek invariant is?

En dan komt weer de versnelling waar ik mee bezig ben. Zou in een versneld systeem de metriek ook invariant zijn. En is de truuk dan dat ik een niet-lineaire transformatie moet zoeken die de metriek invariant laat?

Bedankt. Oscar.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 oktober 2007 - 10:01

Ik heb nooit goed begrepen wat er nu toch bedoeld wordt met de opmerking dat de metriek ds^2 invariant is. Dankzij een opmerking van eenDavid begrijp ik nu de bedoeld wordt: Invariant onder Lorentztransformatie.

Waarschijnlijk kom ik nog terug op je andere vragen. Vooreerst wil ik zeker benadrukken dat ds^2 invariant is onder willekeurige transformaties: niet enkel Lorentz-tranformaties (je bedoelt waarschijnlijk de volledige Poincare-groep) maar ook tranformaties naar versnelde waarnemers. Bedenk alleen dat in dat laatste geval de vorm niet zo netjes is (maar ds^2 blijft invariant het is alleen niet meeer dt'^2-dx'^2). We bekomen dan een metriek LaTeX zodat LaTeX

#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 oktober 2007 - 16:50

Ik wil dit punt graag nauwkeuriger uitwerken, maar dat zou me leiden tot een uiteenzetting die ongeveer 20 bladzijden beslaat. Metrieken staan centraal in algemene relativiteit (sommigen definiŽren de metriek als het gravitatieveld, hoewel dit tegenwoordig minder en minder gebeurt) en vormen een essentieel onderdeel voor speciale relativiteit. Ik zal mijn best doen beknopt maar duidelijk te zijn. Voor een vrij nauwkeurige beschrijving zou ik willen verwijzen naar de nota's van S. M. Carroll. De wiskundigen onder ons moeten zich in de differentiaalmeetkunde inwerken: dat is prachtige wiskunde waarop dit verhaaltje steunt. Ik zal vooral de uitleg zo kort mogelijk houden. Ook de minicursus AR handelt vnl. over dit thema.

Essentieel in relativiteit is: hoe transformeren grootheden in stelsel A naar grootheden in stelsel B? Als men het abstract bekijkt kan men zeggen: "Ik voor 2 verschillende coŲrdinaten in op de ruimtetijd. Dat heeft geen gevolgen op de fysica, meer wel op componenten van grootheden die ik meet. Ik wil weten wat die gevolgen zijn." We beschrijven dus objecten die 1 en hetzelfde object zijn, maar de componenten die we zien zijn verschillend. Bedenk hiertoe hoe bijvoorbeeld een rotatie van het assenstelsel een implicatie heeft op de componenten gemeten door de nieuwe waarnemer: het object blijft hetzelfde (dat is het elegante aspect), de componenten veranderen (dat is het aspect waarvoor je graag een blaadje papier bij de hand hebt). We bevinden ons hier op een delicaat punt: we doen aan SR, maar we maken gebruik van een formalisme dat in AR centraal staat (en ons dus vooral van daaruit bekend is).

Essentieel is dat je onder en bovenindices hebt. Een bovenindex transformeert als (griekse letters noteren 4-indices)
LaTeX
Bijvoorbeeld de differentiaal LaTeX van onze coŲrdinaten transformeert op deze manier (op dit ogenblik kan je je bijvoorbeeld vragen: wat is een differentiaal nu werkelijk? Daarvoor moet je terug op de diepere wiskunde van de differentiaalmeetkunde, en dan zal je weten wat een differentiaal echt is.)
een onderindex transformeert zoals
LaTeX
Een scalair, een object zonder indices is invariant:
LaTeX
Je kan eenvoudig narekenen(met de kettingregel) dat een contractie (sommeer over beide indices) van een bovenindex met een onderindex een scalair geeft.

Wel dan, we zoeken een invariant die 2de orde is de differentialen, dus we schrijven
LaTeX (2 dezelfde indices wil zeggen dat we er over sommeren)
(Carroll definieert LaTeX algemeen als de basisvectoren, wat correspondeert met wat ik boven schreef: er is een invariant object, maar de componenten transformeren zoals hierboven). Merk op dat de argumenten een zekere nauwkeurigheid vergen, die fysici vaak verbannen, en wat ik vanaf nu dus ook doe)
Als we nu een transformatie uitvoeren, dan vinden we
LaTeX , met LaTeX .
Er bestaat een speciale klasse van transformaties die voldoen aan LaTeX (deze vormen een 'groep', die men de Poincarťgroep noemt), o.a. de Lorentzboosts voldoen hieraan. Maar als je naar een versnellend stelsel transformeert komen er andere componenten, en is de metriek dus niet gegeven als LaTeX , waarmee ik hoop dat je nu een working knowledge hebt van wat een metrische tensor is. Merk op dat een metriek gaat over afstanden in een ruimte, en dat dat verhaal niet voor elke genormeerde ruimte via een metrische tensor kan (wat ook weer voer is voor de wiskundigen onder ons).

Nog een opmerking die allicht velen interessant zullen vinden. We hebben nu een metriek, en ik heb al gezegd dat zo'n metriek staat voor gravitatie-effecten. Een essentieel onderscheid tussen een versnelde waarnemer in SR en een metriek in AR is dat er in SR steeds een transformatie bestaat zodat LaTeX . In AR lukt dat niet meer, tenminste niet globaal. Locaal kan je wel steds een stelsel invoeren waar de metriek deze vorm aanneemt, maar dat zal niet meer lukken voor de volledige ruimtetijd. Dat wordt veroorzaakt door 'kromming', een wiskundig zeer nauwkeurig omlijnd begrip.

#4

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2007 - 18:03

Ja, dat laatste begon mij ook net te dagen. Ik heb mij oude AR-dictaat erbij (dat ik ooit nog eens wil snappen). Eťn ding snap ik nu. Blijkbaar mag je locaal wel lorentz transformeren (om afstand, tijd, snelheid in het andere stelsel te bepalen), maar kun je dat integreren naar een globale transformatie, althans niet als het systeem niet inert is en de ruimte dus niet vlak. Dat kan pas als je de juiste metriek gebruikt.

Niet dat ik al weet hoe ik het probleem moet aanpakken. Maar, in ieder geval heb ik wel een idee wat er aan de hand is. Nu wordt het wel wat aardiger dat we voor het versnelde systeem inderaad door het integreren van de locale transformaties inderdaad niet tot een globale transformatie kon komen.

Nu kan ik ook het probleem van de rotatie beschrijven. Ik doe het wel in cylindercoordinaten (r,\phi,t) want met drie variabelen is het me nog een beetje te veel. In principe heb ik er dan natuurlijk nog steeds drie. Ik zoek r(r',\phi',.t'), \phi(r',\phi',t') en \t(r',\phi',t'). Maar ik ga er ook even vanuit dat r(r',\phi',t')=r'.

Dus ik zoek LaTeX en LaTeX met randvoorwaarde: LaTeX (lijkt al erg op een lineaire beweging).

die verder (lokaal) voldoet aan de invariantie van: LaTeX

Dat laatste geeft: LaTeX en LaTeX

Met de randvoorwaarde vindt je: LaTeX onafhankelijk van t'

Dus vindt je een lineaire transformatie: LaTeX enLaTeX

Nu zie je dat deze globale oplossing niet kan. Immers LaTeX en LaTeX . Maar aangezien die twee punten is S' samenvallen zou dat in S ook zo moeten zijn. Maar dat is niet het geval. De periodiciteit klopt niet. De geintegreerde lokale oplossing geeft dus inderdaad geen globale oplossing.

Maar goed. Als je wel lokaal met Lorentztrafo's kun werken. Is het de vraag of je een globale transformatie moet beschrijven om te begrijpen wat er gebeurt met versnelling. Daar moet ik dan maar weer eens over nadenken.

#5

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 oktober 2007 - 19:02

Ik ben het in hoge mate oneens met je voorgaande post. Maar misschien heb ik het met 'het probleem van rotatie' over iets anders dan jij: hoe ziet de metriek er uit voor een stilstaande roterende waarnemer. Daar komen geen hyperbolicussen in, bedenk ook dat r geen constante is. De transformatie is automatisch al gekend, en daaruit kunnen we onmiddelijk de metrische coŽfficiŽnten bereken met de formule voor LaTeX uit post #3.
De transformatie wordt gewoon gegeven door:
LaTeX ;
LaTeX ;
LaTeX ;
Dus dan kan je zeker berekenen wat de vorm is van ds≤ in het roterende assenstelsel (je moet eerst de transformatie inverteren en dan invullen in ds≤)?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures