Springen naar inhoud

Som van overaftelbaar veel nullen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2007 - 08:53

We weten allemaal dat als je eindig veel nullen bij elkaar optelt, dat er dan nul uit komt (vanwege commutativiteit van optelling maakt het niet uit in welke volgorde, dus ik schrijf gewoon 0 + 0 + ... + 0 (n keer) = 0.
Oftewel
LaTeX
Wat gebeurt er echter als we een som van oneindig veel nullen nemen? Dan kan ik de som definieren als limiet van eindige sommen:
LaTeX
Dat gaat goed. Ik kan de eerste oneindige som ook formuleren als
LaTeX
waarbij I een aftelbaar oneindige indexverzameling is.
Echter, wat gebeurt er met de som als I overaftelbaar is? Kies bijvoorbeeld voor I de reele getallen? Voor I aftelbaar is de som nog te formuleren als 0 + 0 + 0 + ..., echter voor overaftelbare I kan dat niet meer.
Dus hoe zit het precies met
LaTeX
Wat is dit? Per afspraak nul? Niet gedefinieerd? Of afleidbaar?
Uiteraard geldt door het nemen van de e-macht dezelfde vraag voor
LaTeX

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2007 - 09:44

Sommeren doe je over een discrete index. ReŽel, dat zou integreren zijn.
Hoewel in termen van limieten van functies, 0.:D:D een onbepaaldheid is,
stelt men in de integraalrekening gewoonlijk het volgende per definitie:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 10 oktober 2007 - 09:45

Zij LaTeX een (index)verzameling en LaTeX een verzameling van niet-negatieve reŽle getallen.
Dan is LaTeX

#4

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2007 - 16:10

@TD, De keuze I = R was inderdaad misschien een wat onhandig gekozen voorbeeld, elke overaftelbare verzameling werkt, bijvoorbeeld P(N) (de collectie van alle collecties die alleen natuurlijke getallen bevatten) Ik doelde namelijk niet op integreren.

@PeterPan, dat is wel een logische definitie inderdaad, en geeft meteen het antwoord op mijn vraag. Bedankt :D





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures