Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijkingen: uniciteit en existensie in (x,y)-vlak


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 15:30

Ik snap niet zo goed wat ik bij de volgende vraag moet doen:

Bepaal voor elk van onderstaande differentiaalvergelijkingen het gebied in het (x,y)-vlak waar de existenstie van een unieke oplossing door een punt (x0,y0) is gegarandeerd door de fundamentele existensie en uniciteitsstelling.

a. LaTeX .

Ik had het volgende gedacht:

de differentiaalvergelijking heeft de vorm van: y'=f(x,y). Dus er bestaat een rechthoek met zijden a<x<b, c<y<d in het (x,y)-vlak dat het initieel punt (x0,y0) bevat, waarbij binnen het interval (a,b) een subinterval bestaat dat een unieke oplossing garandeert. In deze rechthoek moet de partiŽle afgeleide LaTeX continu zijn. Dus in dit geval is deze afgeleide niet continu voor de lijn 2x+5y=0. Het gevraagde gebied is dus de hele R2, met uitzondering van deze lijn.

Is dit goed? Want dit is een beetje een vreemde methode om een dergelijk gebied aan te geven... Kan iemand me helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 15:38

Niet alleen die partiŽle afgeleide van f(x,y) naar y, maar ook f(x,y) zelf moet continu zijn.
Beide voorwaarden komen hier neer op het niet-nul zijn van 2x+5y, lijkt me te kloppen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 18:38

Mijn probleem zit het voornamelijk in deze zin: een unieke oplossing is gegarandeerd.... Er is toch niet met zekerheid te zeggen dat de oplossing uniek is binnen het gebied? Ik kan me eigenlijk niet voorstellen dat het antwoord zo eenvoudig is, ik las allerlei dingen over Picard-iteraties ed. Hoe kan ik het gebied overigens het beste weergeven? De uniciteitsstelling praat over rechthoeken, terwijl ik hier de gehele R2 toewijs met uitzondering van ťťn lijn. Overigens, waarom is de partiŽle afgeleide naar x niet van belang?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 20:37

Als dit een opgave van je is, dan heb je wellicht toch nodige en/of voldoende voorwaarden gezien voor existentie en uniciteit? Wellicht heb je daar gezien dat de partiŽle afgeleide naar y continu moet zijn, of preciezer: moet voldoen aan de Lipschitz-voorwaarde. Waarom? Daarvoor bekijk je best het bewijs van de stelling :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 21:47

Ja ik kan me haast niet voorstellen dat ik er zo makkelijk van af kom :D. Nou, is dat niet even mooi :D Ik zal eens wat dieper naar het bewijs kijken.

Veranderd door flamey, 13 oktober 2007 - 21:48


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 oktober 2007 - 22:02

Is goed; als er een probleem is, horen we het wel...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures