Springen naar inhoud

Afgeleide van a^x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 16:40

In mijn Wiskundeboek staat het volgende:
a^x=e^(x.ln a), daar kan ik inkomen.

Maar dan volgt:
D[e^(x.ln a)]
=e^(x.lna) . D(x.lna)

En waarom mag dat dan wel zo zijn? Zij halen de rekenregels voor afgeleiden aan, maar ik zie het echt niet. Ik weet dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x, maar ik zie het verband echt niet.

Bedankt alvast :D

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 16:49

Als ze dit toepassen, heb je wellicht de "kettingregel" gezien: dat is het :D
Begrijp je de kettingregel en geraak je er dan aan uit? Laat maar horen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 16:58

Ja, ik ken en snap de kettingregel, al zie ik hier niet meteen het verband. Maar dat ligt voor de volle honderd procent aan mij natuurlijk :D

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 17:01

De afgeleide van e^x is e^x. Maar: de afgeleide van e^(2x) is niet e^(2x).
Hier moet je de kettingregel toepassen, door de vermenigvuldigen met D(2x).

Dus: D(e^(2x)) = e^(2x).D(2x) = 2.e^(2x).
Algemeen: D(e^f(x)) = e^f(x).D(f(x)).

Misschien in woorden: de afgeleide van e tot de macht "een functie" is opnieuw e tot de macht "die functie", vermenigvuldigd met de afgeleide van die functie. Dat kan je ook toepassen op e^x zelf, want de afgeleide van x is gewoon 1 dus dat blijft inderdaad e^x. Hier is die functie in de exponent x.ln(a).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 17:04

Oke, dat snap ik, bedankt :D Maar om even terug te komen op de kettingregel, als ik die nog even opnieuw zou verwoorden komt het hier op neer:

Als de variable van een standaardafgeleide (hier D(e^x)) wordt 'gemanipuleerd' (hetzij door vermenigvuldiging, delen enz.) dan moet je die standaardafgeleide nemen en deze vermenigvuldigen met de afgeleide van de gemanipuleerde variabele.

Het klinkt een beetje vreemd, maar klopt het?

Veranderd door Nikolas, 14 oktober 2007 - 17:04


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 17:06

Er zit wat in, maar laten we het wat preciezer formuleren.

Stel je kent de afgeleide van een functie g(x), namelijk g'(x). Als het argument van de functie niet gewoon x is, maar zelf opnieuw een functie h(x), dan pas je de kettingregel als volgt toe:

D g(h(x)) = g'(h(x)).h'(x)

Je gebruikt gewoon de afgeleide van g zoals je die kent, niet in x maar in h(x), en je vermenigvuldigt met de afgeleide van h(x). In jouw voorbeeld: g(x) = e^x e, h(x) = x.ln(a) zodat g(h(x)) = e^(x.ln(a)).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 17:12

Oke, bedankt TD, ik kom hier zeker terug :D Wacht maar tot ik in december examens heb :D

Veranderd door Nikolas, 14 oktober 2007 - 17:12


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 oktober 2007 - 17:14

Tuurlijk, je bent welkom.

Om nog even terug te komen op je vorig bericht: de functie h(x) kan inderdaad een vermenigvuldiging of deling zijn (bijvoorbeeld 3x als argument in plaats van x), maar ook eender welke andere functie (bijvoorbeeld: sin(x), log(x), x≤-3x+1, ...).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures