Gevolg cauchy-goursat.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 17-10-'07, 11:28

Bert F

Berichten: 2.589

Gevolg cauchy-goursat.

Men heeft om te beginnen te de stelling van Cauchy goursat bewezen, die zegt dat:

Als D een enkelvoudig samenhangend domein is en C een stuksgewijze continu differentieerbare gesloten kromme die volledig binnen D ligt en Als f:D ==>Complexe analytisch is over D dan volgt:

dat de gesloten lijn integraal (hoe typ je dat in latex?) over c van f(z) gelijk is aan nul.

Nadien heeft men als gevolg:

Afbeelding

Waarom volgt dat de integraal slechts afhankelijk is van begin en eindpunt?

Verder heeft men:

Afbeelding

maar wat bewijst men hier? de uitspraak dat een integraal slechts afhangt van zijn begin of eindpunt? of iets anders?

Hoe gaat men van regel één naar twee? maw waar blijft die f(z) Groeten.
Omhoog

Bericht 17-10-'07, 12:28

PeterPan

Re: Gevolg cauchy-goursat.

Waarom volgt dat de integraal slechts afhankelijk is van begin en eindpunt?
Bijna triviaal.

Stel je hebt 2 bogen binnen
\(D\)
die
\(a\)
met
\(z_0\)
verbinden (zeg
\(C_1\)
en
\(C_2\)
.

Als
\(C_3\)
een boog is met dezelfde drager als
\(C_2\)
, maar die de boog in omgekeerde volgorde doorloopt (dus van
\(z_0\)
naar
\(a\)
, dan is
\(C_1 \cup C_3\)
een gesloten kromme en dus is dan
\(\int_{C_1 \cup C_3} f(z) = 0\)
.

Dan is
\(\int_{C_1} f(z) + \int_{C_3} f(z) = 0\)
.

ofwel
\(\int_{C_1} f(z) - \int_{C_2} f(z) = 0\)
.

ofwel
\(\int_{C_1} f(z) = \int_{C_2} f(z)\)
.
\(C_1\)
en
\(C_2\)
zijn 2 willekeurige bogen van
\(a\)
naar
\(z_0\)
.

Dus de integraal hangt alleen af van biginpunt en eindpunt.

Die tweede stelling heeft niets met de eerste van doen.

Hier bewijst men de complexe variant van de bekende stelling voor reële functies.

De reële functies variant luidt:

Als f continu is op [a,b], en
\(F(x) = \int_a^x f(t)\ dt\)
, dan is
\(F\)
differentieerbaar op [a,b] en
\(F'(x) = f(x)\)
voor
\(x \in [a,b]\)
.
Omhoog

Bericht 17-10-'07, 12:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gevolg cauchy-goursat.

Bert F schreef:Als D een enkelvoudig samenhangend domein is en C een stuksgewijze continu differentieerbare gesloten kromme die volledig binnen D ligt en Als f:D ==>Complexe analytisch is over D dan volgt:

dat de gesloten lijn integraal (hoe typ je dat in latex?) over c van f(z) gelijk is aan nul.
\(\oint_c f(z) dz = 0\)
Waarom volgt dat de integraal slechts afhankelijk is van begin en eindpunt?
Stel dat de integraal wel afhankelijk is van het pad en neem twee paden die tot een verschillend resultaat zouden leiden. Samen vormen deze paden een gesloten lus, wat zegt Cauchy-Goursat daarover?
Bert F schreef:maar wat bewijst men hier? de uitspraak dat een integraal slechts afhangt van zijn begin of eindpunt? of iets anders?

Hoe gaat men van regel één naar twee? maw waar blijft die f(z) Groeten.
Dit is een hoofdstelling van de integraalrekening, zoals je die kent voor reële functies.

De stelling geeft weer dat de integraal van de afgeleide functie, de functie zelf is...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-10-'07, 16:36

Bert F

Berichten: 2.589

Re: Gevolg cauchy-goursat.

oké bedankt het eerste deel begrijp ik.

Bij die tweede stelling (2.3.1) hoe gaat men daar van de eerste naar de tweede regel?

of hoe kan men van
\(\frac{1}{\Delta z } ( \int _a ^{z+\Delta z } f(w) dw - \int _a ^{z } f(w) dw ) -f(z) \)
naar
\( \frac{1}{\Delta z} \int _z ^{z+\Delta z} f(w) dw - \frac{f(z)}{\Delta z} \int _z ^{z+\Delta z} dw \)
gaan?

Groeten.
Omhoog

Bericht 17-10-'07, 21:53

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gevolg cauchy-goursat.

Er geldt (lineariteit van de grenzen):
\(\int_a^{z + \Delta z} {f\left( w \right)dw} = \int_a^z {f\left( w \right)dw} + \int_z^{z + \Delta z} {f\left( w \right)dw} \)
Dus:
\(\int_a^{z + \Delta z} {f\left( w \right)dw} - \int_a^z {f\left( w \right)dw} = \int_z^{z + \Delta z} {f\left( w \right)dw} \)
Als je nu nog inziet dat:
\(\int_z^{z + \Delta z} {dw} = \Delta z\)
Dan moet je er aan uit geraken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-10-'07, 14:15

Bert F

Berichten: 2.589

Re: Gevolg cauchy-goursat.

klopt ze vermenigvuldigen en delen met hetzelfde. Bedankt.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”